¿Admite cada grupo de Lie de dimensión par una estructura compleja?

Question

Sea $M$ un grupo de Lie de dimensión par. ¿Es cierto que $M$ admite una estructura compleja?

Puedo ver que existe una estructura casi compleja, ya que el haz tangente es trivial. Pero esto no es suficiente Trivality of tangent bundle and complex structure.

Entonces me pregunto si añadir la estructura de grupo de Lie es suficiente para garantizar la integrabilidad. ¿Tal vez el tensor de Nijenhuis se simplifica de alguna manera?

Answer 1

Esto responde a la pregunta solo tangencialmente; es decir, abordaré si cada grupo de Lie tiene una estructura compleja invariante. La respuesta a esta pregunta es no. Recordemos la construcción estándar. Digamos que tenemos un grupo de Lie real $G$ de dimensión $2n$ y una estructura compleja en su álgebra de Lie $\mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(G) \cong T_1G$, es decir, un endomorfismo lineal real $J_1\colon T_1G\to T_1G$ tal que $J_1^2 = -\mathrm{id}_{T_1G}$. Queremos darle a $G$ la estructura de una variedad casi compleja que se restrinja a $J_1$ en $T_1G$ y tal que la multiplicación izquierda, $\ell_g\colon G\to G$, $h\mapsto gh$, tenga una diferencial lineal compleja ($\mathrm{es casi holomórfica}?$) para cada $g\in G. Es fácil ver que solo hay una estructura casi compleja así $J\colon TG\to TG$; más concretamente, sobre $g\in G$ está dada por el mapa $J_g := (\ell_{g})_*\circ J_1\circ (\ell_g^{-1})_*\colon T_gG\to T_gG$. En particular, si $X\colon G\to TG$ es el campo vectorial invariante por la izquierda asociado con $v\in T_1G$, es decir, $X_g = (\ell_g)_*(v)$, entonces $(JX)_g = (l_g)_*\circ J_1(v)$ y así $JX$ es justo el campo vectorial invariante por la izquierda asociado con $J_1(v).

Ahora la pregunta es: ¿cuándo es integrable esta estructura casi compleja?

El teorema de Newlander-Nirenberg establece que una estructura casi compleja $I\colon TG\to TG$ es integrable si y solo si su tensor de Nijenhuis $$[X,Y]+I[IX,Y]+I[X,IY]-[IX,IY]$$ se anula para todos los campos vectoriales $X,Y$. Dado que el tensor de Nijenhuis depende solo de los valores puntuales de los campos vectoriales, se ve que es trivial tan pronto como se anula en todos los campos vectoriales invariantes por la izquierda. Por lo tanto, por construcción:

Proposición— Sea $J$ una estructura compleja en $\mathfrak{g}$. Entonces la estructura casi compleja invariante por la izquierda en $G$ inducida por $J$ es integrable si y solo si $[JX,JY] = [X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]$ para todo $X,Y\in\mathfrak{g}$.

Vemos que hay un obstáculo para la integrabilidad de una estructura casi compleja invariante, pero este obstáculo se ve totalmente en el nivel de álgebras de Lie. Dado que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie simplemente conexo, basta construir un álgebra de Lie que no admita un $J$ tal que $J^2 = -\mathrm{id}_{\mathfrak{g}}$ y $[JX,JY] = [X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]$ para todo $X,Y\in\mathfrak{g}$.

Se pueden encontrar ejemplos, por ejemplo, en el trabajo de Goze y Remm, Non existence of complex structures on filiform Lie algebras, arXiv:math/0103035v2. De hecho, según la Proposición 4, las siguientes álgebras de Lie proporcionan ejemplos:

Dado $n\geq 2$, sea $\mathfrak{l}_{2n}$ el álgebra de Lie de dimensión $2n$ generada por $x_1,x_2,\dots ,x_{2n}$ y corchete de Lie tal que $[x_1,x_i] = x_{i+1}$ para todo $i=2,3,\dots,2n-1$ y $[x_i,x_j] = 0$ para todos los demás $i,j$. La estrategia aquí es demostrar que si hubiera un $J$ para $\mathfrak{l}_{2n}$, entonces $J(x_{2n})$ tendría que ser central; pero el centro está generado por $x_{2n}$, por lo tanto $J(x_{2n}) = ax_{2n}$. Pero entonces $a^2 = -1$, una contradicción.

Answer 2

En el caso de grupos de Lie compactos, es cierto que un grupo de Lie de dimensión par siempre admite una estructura compleja. Consulte el Ejemplo 4.32 en Félix, Oprea, Tanré, Modelos Algebraicos en Geometría (disponible aquí https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/tanre.pdf).