Dos secuencias convergentes en un espacio métrico.

Question

Pregunta: Vamos a {$x_n$} y {$y_n$} dos secuencias convergentes en un espacio métrico (E,d). Para todos los $n \in \mathbb{N}$, nos defind $z_{2n}=x_n$$z_{2n+1}=y_n$. Mostrar que {$z_n$} converge a algunos $l \in E$ $\longleftrightarrow$ $ \lim_{n \to \infty}x_n$= $\lim_{n \to \infty}y_n$=$l$.

Mi Trabajo: Desde $x_n$ converge, $\exists N_1 \in \mathbb{N}$ s.t. $\forall n \geq N_1$, $|x_n-l_1|<\epsilon$. Asimismo, a partir de $y_n$ converge, $\exists N_2 \in \mathbb{N}$ s.t. $\forall n\geq N_2$, $|y_n-l_2|<\epsilon$. Debido a $z_{2n}=x_n$$z_{2n+1}=y_n$, a continuación, elija $N=\max\{N_1,N_2\}$. Desde eventualmente $2n+1>2n>N$ si $z_n$ converge a$l$, $|z_n-l|=|x_{n/2}-l|<\epsilon$ debido a cómo elegimos a nuestros N. Estoy en lo cierto en este enfoque y debe continuar así o estoy equivocado? Esta es una tarea problema así que por favor no hay soluciones!!! Cualquier ayuda es muy apreciada.

Mi trabajo de otra manera: Si $\lim_{n \to \infty}x_n=\lim_{n \to \infty}y_n=l$,a continuación te mostramos $\lim_{n \to \infty}$$z_n=l$.A continuación, para $N \in \mathbb{N}$ donde $N=max{(\frac{N_1}{2},\frac{N_2-1}{2})}$. Desde $|x_n-l|=|y_n-l|=|z_{2n}-l|=|z_{2n+1}-l|<\epsilon$, para $n\geq N$, $|z_n-l|<\epsilon$.

Answer 1

Usted está trabajando con las ideas correctas, a pesar de lo que hemos hecho hasta ahora es insuficiente. Recuerde que usted necesita para probar dos cosas: si $\langle z_n:n\in\Bbb N\rangle\to\ell$,$\ell_1=\ell_2=\ell$, y si $\ell_1=\ell_2$,$\langle z_n:n\in\Bbb N\rangle\to\ell_1=\ell_2$. Su argumento será mucho más fácil de escribir y de leer, si usted separar claramente ambas partes:

1. Suponga que $\langle z_n:n\in\Bbb N\rangle\to\ell$, y el uso de lo que usted ha hecho para demostrar que el $\ell_1=\ell_2=\ell$.

2. Suponga que $\ell_1=\ell_2$, y muestran que la $\langle z_n:n\in\Bbb N\rangle$ converge a este número.

Tiene todo lo que usted necesita, a pesar de que se puede mejorar un poco: usted debe dejar a $N=\max\{2N_1,2N_2+1\}$, por lo que la toma de $n>N$ garantiza que $n/2>N_1$ si $n$ es incluso y $(n-1)/2>N_2$ si $n$ es impar.

Answer 2

Sugerencia: para cualquier convergentes secuencia $\,\{a_n\}\,$

$$a_n\xrightarrow [n\to\infty]{} L\Longrightarrow\;\;\; a_{2n}\,,\,a_{2n+1}\xrightarrow [n\to\infty]{} L$$

Answer 3

Sugerencia Recuerde que el hecho de que "cada convergente de la secuencia es una secuencia de Cauchy".

$(\Rightarrow)$ Asumen $\lim_{n \to \infty} z_n=l$, a continuación, observe que

$$ |x_n-l|=|z_{2n}-l|=|(z_{2n}-z_n)+(z_n-l)|\leq |z_{2n}-z_n|+|z_n-l|<\dots $$