Una pregunta acerca de los campos que contiene una copia de $\Bbb{Q}$

Question

Cuando decimos que un campo contiene una copia de el campo de los números racionales $\Bbb{Q}$, ¿qué significa esto realmente? ¿Quiere esto decir que contiene un campo isomorfo a $\Bbb{Q}$, o qué significa contiene $\Bbb{Q}$ sí?

También, decir que el campo contiene $\Bbb{Q}$. Considerar el elemento $a+a+a=3a$. Aquí, no $3$ pertenecen a $\Bbb{Q}$? O es $3a$ sólo una forma de representar a $a+a+a$?

Gracias

Answer 1

¿Quiere esto decir que contiene un campo isomorfo a $\Bbb{Q}$, o qué significa contiene $\Bbb{Q}$ sí?

Mi respuesta sería "sí y sí".

La razón es que la idea de isomorfismo significa que no se distingue entre isomorfo cosas. Tienen exactamente las mismas propiedades, por lo que son el mismo. Se puede decir que son diferentes conjuntos, pero en realidad sería mejor dejar de pensar de $\Bbb Q$ como algo mágico y establece que es diferente de su isomorfo contrapartes, de alguna manera.

Para cualquier anillo con identidad, siempre hay un homomorphism de $\Bbb Z$ En el anillo de asignación 1 a la identidad. Si la característica es cero, entonces este mapa es una inyección. Si el anillo de su asignación en un campo con características de 0, esto se extiende a un homomorphism de $\Bbb Q$ en su anillo. Todas las imágenes resultantes de los elementos de $\Bbb Q$ en su anillo son exactamente lo que usted espera.

Answer 2

Cada AFAIK, cada campo de característica cero contiene una copia de $\mathbb Q$ en este sentido: una vez que usted ha $1$, usted tiene $1+1+...$. Una vez que usted ha $1+1$ , usted tiene $1/2:=(1+1) ^{-1}$. Then , e.g., $3/2=1/2+1/2+1/2$ From this you see that every element of the form $a/b, b\neq 0$ puede ser obtenido de esta manera.

Answer 3

Contiene un campo isomorfo a $\mathbb{Q}$ (o hay un isomorfismo de $\mathbb{Q}$ en ese campo). Por ejemplo, $\mathbb{R}$ contiene una copia de $\mathbb{Q}$. Esto surge generalmente cuando se construye otro (más grande) de campo, como en \mathbb{R}, de $\mathbb{Q}$ y, a continuación, "incrustar" $\mathbb{Q}$. Del mismo modo el campo de $\mathbb{Q}$ sí mismo se construye a partir del anillo de $\mathbb{Z}$, y, a continuación, se muestra que $\mathbb{Q}$ contiene una copia de $\mathbb{Z}$.

De hecho, hay una muy buena cadena de$\mathbb{Z}$$\mathbb{C}$:
$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
Lo bueno de esta cadena es que cada uno de los últimos tres estructuras en la secuencia se construye a partir de la anterior por medio de la adición de ciertas propiedades. $Z$ es un anillo y por lo tanto no tiene inversos multiplicativos. Por lo tanto, construir el campo de $\mathbb{Q}$ e incrustar $\mathbb{Z}$. Pero $\mathbb{Q}$ no es "completa", en el sentido de que no tiene el mínimo límite superior de la propiedad. La construcción de un campo de ella y consigue $\mathbb{R}$. Pero $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrado! La construcción de un algebraicamente cerrado campo que contiene $\mathbb{R}$ y consigue $\mathbb{C}$.

"¿Quiere esto decir que contiene $\mathbb{Q}$ sí?" - La única manera significativa de interpretar, es decir, como en el anterior, que contiene un campo isomorfo a $\mathbb{Q}$. No importa lo que las etiquetas se utilizan para representar los elementos.

Cuando usted escribe $a + a + a$ $3a$, $3$ no representa el elemento correspondiente a $3$ en el campo de la copia de $\mathbb{Q}$. Es sólo una notación. La misma notación, por ejemplo, puede ser utilizado para representar a $a + a + a$ a (conmutativa) grupo aditivo de notación (este es exactamente el mismo que $a^3$ en la notación multiplicativa).

Edit: Como Stahl se explica en el comentario, en un campo de característica $0$, se puede identificar a $3$ con el número racional $3$.