Cómo calcular la función factorial como $x\to\infty$?

Question

Necesito calcular

$$\lim_{x \to \infty} \frac{((2x)!)^4}{(4x)! ((x+5)!)^2 ((x-5)!)^2}.$$

Incluso he utilizado Striling Aproximación y Wolfram Alpha, no ayudan.

¿Cómo puedo calcular esto?

Mi expectativa de la salida es de alrededor de $0.07$.

Gracias de antemano.

Answer 1

El límite dado en el problema es igual a cero. Muestra de ello es la siguiente.

El uso de $\Gamma(1+x) = x \Gamma(x)$ la expresión a evaluar es visto como \begin{align} \phi_{n} &= \frac{\Gamma^{4}(2n+1) }{ \Gamma(4n+1) \Gamma^{2}(n+6) \Gamma(n-4)} \\ &= \frac{n^{2}(n-1)^{2}(n-2)^{2}(n-3)^{2}(n-4)^{2}}{(n+1)^{2}(n+2)^{2}(n+3)^{2}(n+4)^{2}(n+5)^{2}} \ \frac{\Gamma^{4}(2n+1)}{\Gamma(4n+1) \Gamma^{4}(n+1)}. \end{align} Ahora, mediante el uso de Stirling aproximación, es decir, \begin{align} \Gamma(n+1) \approx \sqrt{2 \pi} \ n^{n+1/2} \ e^{-n} \end{align} esta expresión se convierte en \begin{align} \phi_{n} &= \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{2} \left(1-\frac{3}{n}\right)^{2}\left(1-\frac{4}{n}\right)^{2}}{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} \left(1+\frac{2}{n}\right)^{2} \left(1+\frac{3}{n}\right)^{2} \left(1+\frac{4}{n}\right)^{2} \left(1+\frac{5}{n}\right)^{2}} \ \sqrt{ \frac{2}{\pi n} } \end{align} Tomando el límite cuando $n \rightarrow \infty$ conduce a \begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\Gamma^{4}(2n+1) }{ \Gamma(4n+1) \Gamma^{2}(n+6) \Gamma(n-4)} = 0. \end{align}

Answer 2

Utilizando directamente Stirling aproximación de las factorial $$\begin{align} \Gamma(n+1) \approx \sqrt{2 \pi} \ n^{n+1/2} \ e^{-n} \end{align}$$ the expression becomes $$\frac{((2x)!)^4}{(4x)! ((x+5)!)^2 ((x-5)!)^2}\approx\sqrt{\frac{2}{\pi }} (x-5)^{9-2 x} x^{4 x+\frac{3}{2}} (x+5)^{-2 x-11}$$ which, for large values of $x$, can be approximated by $$\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{\frac{1}{x}}-50 \sqrt{\frac{2}{\pi }} \left(\frac{1}{x}\right)^{3/2}+1275 \sqrt{\frac{2}{\pi }} \left(\frac{1}{x}\right)^{5/2}+O\left(\left(\frac{1}{x}\right)^{7/2}\right)$$

Para $x=100$, el valor exacto es $0.0484141$, mientras que la aproximación es $0.0500673$.
Para $x=1000$, el valor exacto es $0.0239969$, mientras que la aproximación es $0.0240019$.