En los números de máxima subgrupos de una $p$-grupo

Question

Deje $G$ $p$- grupo, es decir,$|G|=p^n$. Llame a $\Phi(G)$ el Frattini grupo de $G$.

Entonces tenemos que $G/\Phi(G)\simeq(C_p)^d$ ($d$ copias de el grupo cíclico de orden $p$, es decir,$\overbrace{C_p\times\cdots\times C_p}^{d-times}$), para $d\in\mathbb N$. Y hasta aquí todo correcto.

Entonces mi maestro dijo que el número de subgrupo maximal de a $G$ es $$ \frac{p^d-1}{p-1}. $$ Lo que no entiendo es:

1. Por qué los números de máxima subgrupos de una $p$-los grupos son de la forma $$ \frac{p^m-1}{p-1}=1+p+p^2+\cdots+p^{m-1} $$ for some $n\in\mathbb N$.
2. Por qué $m=d$, por lo tanto de la forma en que $d$ está relacionado con el número de subgrupo maximal de a $G$.

Cualquier ayuda se agradece mucho. Gracias a todos.

Answer 1

Deje $G=C_p\times C_p\times...\times C_p=(C_p)^d$ Desde $C_p$ es un campo, podemos pensar $G$ como un espacio vectorial sobre $C_p$ con dimensión $d$.

Observe que cualquier $d-1$ dimensiones subespacio de un espacio vectorial puede ser definida únicamente por un complemento ortogonal de un $1$ dimensiones subespacio. Por lo tanto, es suficiente para encontrar el número de la $1$ dimensiones de espacio vectorial.

Tenemos $p^d-1$ trivial elementos y $\langle v\rangle=\langle cv\rangle$ donde $c\in\{1,2,..,p-1\}$ lo que significa que tenemos $$\dfrac{p^d-1}{p-1}$$ unidimensional de espacio vectorial, por lo que estamos por hacer.

Si $G$ cualquier $p$ grupo entonces no es de uno a coresspondence entre la máxima subgrupos de $G$ y la máxima subgrupos de $G/\Phi(G)$ $\Phi(G)\leq M$ cualquier $M$ que concluye el resultado.

Nota:el argumento Anterior muestra también que el número de los subgrupos de índice $p$ es igual al número de los subgrupos de orden $p$ en primaria abelian grupos.

Answer 2

Deje $V = (C_p)^n$, que es un $n$-dimensional espacio vectorial sobre $C_p$. A continuación, el número de $d$-tuplas $(x_1, \ldots, x_d)$ de vectores linealmente independientes es $$f(n,d) = (p^n - 1)(p^n - p) \cdots (p^n -p^{d-1})$$

Ahora si $K$ es el número de $d$-dimensiones de los subespacios, tenemos $K \cdot f(d,d) = f(n,d)$.

Por lo tanto

$$K = \frac{p^n -1}{p^d -1} \cdot \frac{p^{n-1}-1}{p^{d-1} -1} \cdots \frac{p^{n-d+1} -1}{p -1}$$

Así que cuando $d = n-1$, consigue $K = \frac{p^n - 1}{p-1}$.

Desde $\Phi(G)$ está contenida en cada subgrupo maximal de a $G$, tiene un bijection entre la máxima subgrupos de $G$$G/\Phi(G)$. La combinación de esta con el resultado anterior se tiene lo que usted necesita.