Funcional de la ecuación de $x\space f(x^2) = f(x)$

Question

¿Cómo puedo conduciría lógicamente a la respuesta de las siguientes condiciones?

$$ \left\{ \begin{align} & x \, f(x^2) = f(x) \text{ for all } x > 0, \\ & f(x) \text{ is continuous}, \\ &f(1) = 1. \end{align} \right. $$

Uno puede decir fácilmente que $f(x)=\frac{1}{x}$ pero, ¿cómo podemos llevar a la conclusión lógica y excluir todas las otras formas?

Así que mi pregunta es "¿cuál es el procedimiento para resolver esta ecuación, y cuáles son las posibles soluciones?"

Gracias.

Answer 1

Considere la posibilidad de $g(x)=xf(x)$. Tenemos $g(x^2)=x^2f(x^2)=xf(x)=g(x)$.

Por inducción tenemos $g(x)=g(\sqrt[2^n]{x})$ cualquier $x > 0$. Por el bien conocidos $\sqrt[2^n]{x} \to 1$, obtenemos $g(x)=g(1)$ por la continuidad. Por lo tanto $g$ es constante, $f$ es fácil determinar ahora.

Answer 2

Sugerencia: Deje $g(x) = xf(x)$. A continuación, $g(x) = g(x^2)$ todos los $x>0$. El uso de la continuidad de $g$ que $g$ es constante.