Hay soluciones reales a $\exp(X)=-I$?

Question

Como sabemos, la ecuación $$e^x=-1,\quad x\in\mathbb{C}$$ no tiene solución real (de hecho $x=i\pi+2ki\pi$, $k\in\mathbb{Z}$). Ahora estoy considerando la posibilidad de la generalización de esta pregunta a $2\times 2$ matrices:

Pregunta: ¿hay una verdadera matriz $X\in M_2(\mathbb{R})$ tal que $$\exp(X)=-I,$$ donde $\exp$ es la matriz exponencial?

He encontrado que el (irreal) de la matriz $$X=\begin{pmatrix}i\pi & 0 \\ 0 & i\pi\end{pmatrix}$$ satisfacer la ecuación. Pero no tengo idea sobre cómo mostrar si hay otras soluciones reales.

Answer 1

Hay una incrustación $\mathbb C \to M_2 (\mathbb R)$ dada por $$a + bi \mapsto \left( \begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix} \right),$$ which you can check preserves multiplication and addition. Thus it also preserves the exponential; so one solution is given by the matrix $\a la izquierda(\begin{matrix} 0 & \pi \\ -\pi & 0\end{de la matriz}\right)$ corresponding to $i \pi$.

Otra manera de entender esto si estás familiarizado con la Mentira de los grupos es que el $-I$ es una rotación por $\pi$, por lo que puede ser logrado por exponentiating la rotación infinitesimal $\left(\begin{matrix} 0 & \pi \\ -\pi & 0\end{matrix}\right)$.

Answer 2

Intente con $$\left(\begin{matrix} 0 & \pi \\ -\pi & 0 \end{de la matriz}\right)$$

Answer 3

De manera más general, considere la ecuación $e^X=A$ donde $A\in GL_n(\mathbb{C})$ es una matriz diagonalizable.

Necesariamente $X$ es una matriz diagonalizable (por qué ?) y $XA=AX$. A continuación, $A,X$ son simultáneamente diagonalizable sobre $\mathbb{C}$ ; podemos suponer que la $A=diag(a_i),X=diag(x_i)$ donde$a_i\not=0$$e^{x_i}=a_i$. De esta manera, obtenemos todas las complejas soluciones de nuestra ecuación.

El caso real ($A,X\in M_n(\mathbb{R}))$ es más complicado. No hay una solución real en $X$ fib $A$ es el cuadrado de un invertible real de la matriz. Por ejemplo, la ecuación en $M_3(\mathbb{R})$: $e^X=-I_3$ no tiene soluciones reales.