Es cada hyperplane en $\mathbb{R}^n$ determinado por un único vector normal?

Question

Es cada hyperplane en $\mathbb{R}^n$ determinado por un único vector normal? Y ¿por qué?

Yo analizados para $\mathbb{R}$, un hiperplane en $\mathbb{R}$ es un punto, por lo que el hyperplane es$PX= \alpha$,$\alpha \in \mathbb{R}$. Por lo $X=\alpha / P$.

Answer 1

No. Considere la posibilidad de $\mathbb{R}^3$, y el (hiper)planos de $x = 0$$x = 1$. Ambos tienen $[c, 0, 0]$ como vectores normales para todos los $c \neq 0$. Así que no son ni determinado por sus vectores normales, ni es su vector normal único.

Tenga en cuenta que estos vectores contienen todos sus vectores normales, por lo que no existe un vector normal que puede distinguir estos dos planos.

Answer 2

La respuesta es sí. Para demostrarlo, podemos construir una una correlación entre el vector normal y el $R^{n-1}$ plano.