¿Cuáles son los Frobenius grupos de orden $100$?

Question

Pregunta. Que los grupos de orden $100$ son Frobenius grupos?

La OEIS dice que hay dos Frobenius grupos de orden $100$, pero me estoy encontrando tres de ellos y yo estaría muy agradecido si alguien puede señalar dónde estoy pasando mal.

(Yo no era capaz de localizar una fuente independiente de la Frobenius grupos de orden $100$, y mis resultados están de acuerdo con la OEIS hasta el fin de $99$.)

Los tres grupos que me estoy encontrando son Frobenius son aquellas con un pequeño grupo de Identificadores [[100, 3], [100, 11], [100, 12]].

En cada uno de estos casos, me sale lo siguiente:

• el Frobenius kernel $K$ es (necesariamente abelian) Sylow $5$-subgrupo, que es también el Montaje de los subgrupos. Esto es (excepcionalmente, hasta conjugacy), complementadas, por Schur-Zassenhaus. (Para SmallGroup(100,3), $K\simeq C_{25}$, para los otros dos $K\simeq C_5^2$.)
• el Frobenius complementar $H$ es el Sylow $2$-subgrupo de orden $4$
• en los tres casos, $H$ es el núcleo libre de
• en los tres casos, la acción del grupo en $H$ es Frobenius

Los tres primeros elementos son fáciles de comprobar. Por último, estas son las permutaciones de las representaciones que tengo sobre los cosets de la supuesta complementar $H$.

Para SmallGroup( 100, 3 ):

$$\langle (2,8,25,21)(3,6,15,10)(4,20,24,9)(5,18,23,12)(7,19,22,11)(13,16,17,14), (2,25)(3,15)(4,24)(5,23)(6,10)(7,22)(8,21)(9,20) (11,19)(12,18)(13,17)(14,16)\rangle$$

Para SmallGroup( 100, 11 ): $$\langle (2,4,11,7)(3,6,15,10)(5,13,25,21)(8,20,24,14)(9,22,23,12)(16,17,19,18), (2,11)(3,15)(4,7)(5,25)(6,10)(8,24)(9,23)(12,22)(13, 21)(14,20)(16,19)(17,18), (1,2,4,7,11)(3,5,8,12,16)(6,9,13,17,20)(10,14,18,21,23)(15,19,22,24,25), (1,3,6,10,15)(2,5,9,14,19)(4,8,13,18,22)(7,12,17,21,24)(11,16,20,23,25) \rangle$$

Para SmallGroup( 100, 12 ):

$$\langle (2,7,11,4)(3,6,15,10)(5,17,25,18)(8,9,24,23)(12,20,22,14)(13,19,21,16), (2,11)(3,15)(4,7)(5,25)(6,10)(8,24)(9,23)(12,22)(13, 21)(14,20)(16,19)(17,18), (1,2,4,7,11)(3,5,8,12,16)(6,9,13,17,20)(10,14,18,21,23)(15,19,22,24,25), (1,3,6,10,15)(2,5,9,14,19)(4,8,13,18,22)(7,12,17,21,24)(11,16,20,23,25)\rangle$$

En cada caso, puedo comprobar que el grupo es transitiva, que el estabilizador de $1$ no es trivial (como debe ser), y que los dos puntos estabilizadores son todos trivial.

También he comprobado (redundante) que $C_G(h)\leq H$, para todos los $h\in H\setminus 1$, y que $C_G(k)\leq K$, para todos los $k\in K\setminus 1$, en cada caso.

Me han replicado estos cálculos en dos sistemas de álgebra computacional con los mismos resultados, por lo que sospecho que, más que un error de software, hay un error en alguna parte de mi comprensión.

Answer 1

Estoy de acuerdo con su cálculo. Una rutina de búsqueda a través de los grupos pequeños de la biblioteca muestra que sólo los grupos de $\mathtt{SmallGroup}(100,i)$ para $i=3,11,12$ son Frobenius grupos.

O usted puede demostrar teóricamente. Es fácil ver que la única orden de un Frobenius kernel $K$ en un grupo es $25$. Un Frobenius complemento debe ser cíclico de orden $4$ y la ley de punto fijo libremente por la conjugación en $K$.

Si $K$ es cíclico, a continuación, ${\rm Aut}(K)$ es cíclico y sólo hay una posible acción.

De lo contrario, $K$ es elemental abelian y ${\rm Aut}(K) \cong {\rm GL}(2,5)$. Elementos de orden $4$ son diagonalizable, y hay de dos clases conjugacy de los subgrupos de orden $4$ con punto fijo de la acción libre, con representantes de la $\left\langle \left(\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array} \right)\right\rangle$ e $\left\langle \left(\begin{array}{cc}2&0\\0&3\end{array} \right)\right\rangle.$