La compacidad $\ell_{\infty}$

Question

Alguien sabe de una compacidad resultado de los subconjuntos de a $\ell_{\infty}$? Estoy buscando no trivial o no se conocen bien los resultados sobre este tema.

Gracias de antemano por sus comentarios.

Answer 1

$\newcommand{\N}{\mathbb N}$

Desde la notación para una secuencia de secuencias es torpe voy a considerar $\ell_\infty$ a ser el espacio de todos los delimitadas las funciones de $f:\N\to\mathbb C$.

A mí me parece que $S\subset\ell_\infty$ es compacto si, y sólo si (i) $S$ es cerrado y acotado y (ii) los elementos de $S$ son casi determinada por sus valores en un número finito de puntos, en el siguiente sentido:

(ii) Para cada $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ $N$ que si $f,g\in S$$|f(j)-g(j)|<\delta$$j=1,2\dots, N$$||f-g||_\infty<\epsilon$.

Supongamos que (i) y (ii) mantener y $(f_n)\subset S$. Desde $S$ está delimitada hay un pointwise convergente larga: $f_{n_j}(k)\to f(k)$ todos los $k$,$f\in\ell_\infty$. Ahora (ii) implica que $(f_{n_j})$ es uniformemente de Cauchy, por lo tanto uniformemente convergente.

Por el contrario, supongamos $S$ es compacto. A continuación, $S$ es, sin duda cerrado y acotado. Si (ii) falla, entonces no existe $\epsilon>0$ $(f_n),(g_n)\subset S$ $$|f_n(j)-g_n(j)|<1/n,\quad j=1,2\dots, n,\quad(*)$$ pero $||f_n-g_n||_\infty\ge\epsilon$. Ahora existe un par de subsecuencias $(f_{n_j}), (g_{n_j})$$f,g\in\ell_\infty$$||f_{n_j}-f||_\infty\to0$$||g_{n_j}-g||_\infty\to0$. Y ahora (*) implica que $f=g$, contradiciendo $||f_n-g_n||_\infty\ge\epsilon$.