Complicado, pero tonto duda con respecto a las soluciones de $x^2/(y-1)^2=1$

Question

Motivación :

Me han confundido con algún grado 2 de la ecuación. De repente me vino a través de una simple ecuación y no podía obtener la quintaesencia de lo que hay detrás. Tengo una ecuación $$\dfrac{x^2}{(y-1)^2}=1 \tag{1}$$ and I was looking for its solutions. It was asked by some kid ( of $9$n estándar ) para mí. Hice un poco de manipulación y consiguió $$x^2=(y-1)^2 \tag{2} $$ finally. And one can see that $(0,1)$ satisfies the Equation $[2]$ bien. Pero yo estaba feliz, y dentro de poco tiempo, Me di cuenta de que el mismo conjunto de soluciones no puede satisfacer la ecuación de $[1]$ . Si sustituye $(0,1)$ $[1]$ obtener $\dfrac{0}{0}=1$ que es mala.

La respuesta que me convenció finalmente :

Podemos ver la misma ecuación como esta $x^2. \dfrac{1}{(y-1)^2}=1$ . Sabemos que el conjunto de los enteros forman un anillo. De modo que el producto de dos números es uno si un número es inverso al de otro número. '$1$' presente en el R. H. S es el elemento de identidad. De modo que el producto de la entidad con su inversa siempre nos da la identidad.

Así que cuando $x$$0$, $0$ no tiene un inverso en los enteros. Así que el caso es que se va a emitir.

Todavía persisten preguntas :

Pero la cosa que me sorprende es que el Wolfram Alpha me da esta solución .

En la foto se puede ver claramente que ambos se cruzan en $(0,1)$ . Pero, ¿qué es esa confusión ? Se omite que la solución, sino en el hecho de $(0,1)$ es la intersección de las dos líneas.

Preguntas que deberán ser respondidas por personas doctas :

• ¿Cuál es el valor de plazo $\dfrac{0}{0}$ ? ¿No es $1$ ?

• Por qué la solución par $(0,1)$ satisface $x^2=(y-1)^2$ pero no $\dfrac{x^2}{(y-1)^2}=1$ ? Sabemos que ambos son manifestaciones de cada uno de los otros de una manera simple.

• Si tenemos que omitir que la solución, ¿por qué las líneas se cruzan en $(0,1)$ ?

Gracias a todos por dar de su tiempo.

Answer 1

Las ecuaciones $$x^2=(y-1)^2\tag{1}$$ and $$\frac{x^2}{(y-1)^2}=1\tag{2}$$ do not have the same solution set. Every solution of $(2)$ is a solution of $(1)$, but $\langle 0,1\rangle$ is a solution of $(1)$ that is not a solution of $(2)$, because $\frac00$ es indefinido.

La razón es que el $(1)$ no implica $(2)$. Nota primero que $(2)$ no implican $(1)$, debido a que puede multiplicar ambos lados de $(2)$ $(y-1)^2$ conseguir $(1)$. Con el fin de derivar $(2)$$(1)$, sin embargo, usted debe dividir ambos lados de $(1)$$(y-1)^2$, y esto es permisible si y sólo si $(y-1)^2\ne 0$. Por lo tanto, $(1)$ $(2)$ son equivalentes si y sólo si $(y-1)^2\ne 0$. Mientras $(y-1)^2\ne 0$, $(1)$ y $(2)$ tienen exactamente las mismas soluciones, pero una solución de $(1)$ $(y-1)^2=0$ no necesita ser (y de hecho no lo es) una solución de $(2)$.

Tan lejos como los gráficos de ir, la solución de $(1)$ es la unión de las líneas rectas $y=x+1$$y=-x+1$. La solución de $(2)$ consiste de todos los puntos de estas dos líneas rectas , excepto su punto de intersección.

Answer 2

Wolfram Alpha a veces lo hace. Es un poco quisquillosos. Usted puede ver que si nosotros lo pedimos para el dominio de $z=\frac{x^2}{(y-1)^2}$, de hecho nos han omitir el caso de que $y=0$. He observado este comportamiento de muchos-por ejemplo, si usted pide parcela $y=\frac{(x-1)^2}{x-1}$, se obtiene un resultado similar: se rellena el agujero que debe existir en $x=1$. Sin embargo, al preguntar por el dominio de esa función, se le da el dominio correcto. Creo que esta es la evidencia de un equilibrio entre tener algo que interpreta el lenguaje natural, y que tiene algo preciso.

Answer 3

Dos puntos que pueden ayudar.

• $0/0$ es indefinido
• no está permitido multiplicar una ecuación por 0 (si lo hace, a continuación, aumente el conjunto de soluciones)

Así que [1] es equivalente a [2] iff $y\neq 1$.

Las soluciones a la ecuación [1] por lo tanto leer $$ x =\pm (y-1), \qquad y\neq1.$$

Answer 4

No puedes multiplicar ambos lados de una ecuación con $0$. Cuando se multiplica la ecuación por $(y-1)^2$, usted está asegurando que no está tomando las $y=1$ como una solución válida.