Buscando ejemplos es probablemente muy útil aquí. Tomar como su teoría algebraica de la teoría de álgebras conmutativas. Deje $M$ ser algunos de álgebra conmutativa. $FU(M) = S(M)$ es el libre simétrica (polinomio) álgebra generada por el espacio vectorial $M$, e $FUFU(M) = S(S(M))$ es el polinomio de álgebra en que. Elementos de $S(M)$ "entre paréntesis" formal de los productos de los elementos de $M$, por ejemplo, $(a \wedge b \wedge b) \wedge (c \wedge c \wedge c \wedge d) \in S(S(M))$ es un polinomio de peso $2$, el producto de $a \wedge b \wedge b$ $c \wedge c \wedge c \wedge d$ (ambos de los cuales están en $S(M) \hookrightarrow S(S(M))$).
El mapa de $\varepsilon_{FU(M)}$ elimina el exterior paréntesis, y el elemento que escribí arriba es enviado a $a \wedge b \wedge b \wedge c \wedge c \wedge c \wedge d \in S(M)$. Por otro lado, $FU(\varepsilon_M)$ realiza el producto en $M$ en todo el interior de expresiones, por lo que el elemento anterior es enviado a $ab^2 \wedge c^3 d \in S(M)$. Obviamente ambos de estos morfismos son equilibrados por $\varepsilon_M$, y el resultado final es $ab^2c^3d \in M$.
Así, concretamente, para resumir, esta dice que el $M$ tiene una presentación donde los generadores son elementos de $M$, y las relaciones, dice que si se realiza una operación de su teoría algebraica de los generadores (elementos de $M$), luego de recibir el generador asociado al elemento de $M$ obtenido por el hecho de realizar la operación en $M$.
Es realmente un estándar truco usado en teoría de grupos para demostrar que cada grupo tiene una presentación: para un grupo de $G$, considere la posibilidad de la libre grupo de $F(G)$ en el conjunto de $g$, generado decir $\{x_g\}_{g \in G}$, y según las relaciones de $x_g x_h \equiv x_{gh}$. Entonces esto le da una presentación de $G$. La proposición de que has citado es una generalización de ese hecho.
