Modelo de Debye y la temperatura de Debye

Question

El modelo de Debye los rendimientos de la siguiente dependencia de la temperatura de calor específico: $$C = \frac{12\pi^4Nk_B}{5\theta_D^3} T^3 \,,$$ donde $\theta_D$ es la temperatura de Debye.

A partir de esta respuesta, el argumento es que una menor temperatura de Debye se indican de un material más suave, como el plomo.

Qn: ¿'suave' en este caso se traduce en un menor calor específico? Si lo hace, no entiendo cómo llegamos a esta conclusión a partir de la ecuación anterior. En cualquier temperatura de $T$, un menor $\theta_D$ se debe dar una mayor temperatura de Debye, ¿no?

A donde voy mal?

Answer 1

Creo que la relación entre la Temperatura de Debye $\theta_D$ y la "dureza/suavidad" del material puede entenderse más fácilmente si hemos de mirar directamente en la expresión para la temperatura de Debye sí mismo:

\begin{equation} \theta_D=\frac{\hbar \omega_{D}}{k_B} \end{equation}

Aquí $\omega_D$ es el Debye frecuencia. Esto puede ser pensado como el "máximo de la frecuencia de los sólidos modos normales puede estar de pie". Si tenemos esto en mente, podemos escribir:

\begin{equation} \omega_D=\omega_{max}= v_s|\vec{k_{max}}|=\frac{2 \pi v_s}{\lambda_{min}} \end{equation}

He utilizado la relación de dispersión de las ondas de sonido ($v_s$ es la velocidad de propagación del sonido en los sólidos) y, a continuación, que sustituyó a $k_{max}=\frac{2 \pi}{\lambda_{min}}$.

En este punto ya podemos dar una respuesta preliminar. La temperatura de Debye es proporcional a la velocidad del sonido en los sólidos. Si buscas en google encontrarás algo como esto

Materiales más duros tienen un sonido de velocidades. Esto es debido a que son "más estrictos" y se propagan oscilations más rápido. Así que, de hecho, llegan a la conclusión de que los materiales más duros tienen mayores Temperaturas de Debye.

Si usted no compra este tipo de demostración empírica, vamos a ir un poco más allá. Todavía tenemos un $\lambda_{min}$ en nuestra definición de $\theta_D$ que no se han utilizado:

\begin{equation} \theta_D=\frac{h v_s}{\lambda_{min}} \end{equation}

En general, $\lambda_{min}$ estará relacionada con la geometría del material de celosía. Sin embargo, para nuestra simple propósitos podemos simplemente decir que $\lambda_{min}$ debe ser proporcional a la media distante entre los iones en la red. Esto es fácil de ver: una ola con un menor $\lambda$ simplemente no tiene anywhing que oscila entre los iones. Así que ahora podemos ver que la Temperatura de Debye es también inversamente proporcional a la separación de los iones en la red. Es obvio entonces que la más estricta redes (con los iones más cerca unos de otros) tienen mayores Temperaturas de Debye, de acuerdo con nuestros primeros pensamientos.

Espero que esto ayude!

P. D.: respondiendo a la otra pregunta, más difícil de los materiales generalmente tienen menores capacidades de calor, no la otra manera alrededor.