¿De qué maneras puede el concepto de "número" ser generalizado?

Question

Sé que podemos salir de los números reales a los números complejos y, a continuación, a cuaterniones y, a continuación, a octonions y, si no recuerdo mal (he leído algo sobre esto en algún momento en el pasado, pero no recuerdo los detalles), podemos construir "números" de "dimensión" $2^n$ (reales han $n=0$), complejos tienen $n=1$, y así sucesivamente y así sucesivamente...)...

Supongo que, por lo general, estas estructuras con el crecimiento de la $n$ pueden y generalmente pierde algunas de sus propiedades, por lo que las llamamos "números" es un poco impreciso y contradictorio, pero me gustaría, a pesar de que el hecho de que, para saber cuáles son las ideas principales detrás de esta construcción, y hay otros de construcción de la(s) que generalizar el concepto de número en algunas otras maneras?

Aunque la pregunta no es lo suficientemente riguroso como sé que algunos de ustedes saben, más o menos exactamente, exactamente lo que yo quiero saber, así que si usted puede ayudar con la aclaración de estas cuestiones ir a por ello, y, por favor, hacer su exposición tan elemental como sea posible.

Answer 1

Si desea describir números, como "algo así como los enteros", entonces probablemente el derecho de generalización sería anillos. Esto parece el más cómodo para mí: usted tiene la suma, la resta y la multiplicación, y las cosas distribuir como era de esperar. Así, se puede decir que es "como los enteros" en esos aspectos.

Clásicamente, los campos de (que son casos especiales de los anillos), fueron llamados "sistemas de numeración", ya que generalizar las cosas como reales y los números racionales. La idea detrás de los sistemas de numeración aquí fue generalmente para expresar las magnitudes de las longitudes en un plano de la geometría. En realidad, todos los pedidos de campo (de hecho, todos los pedidos de la división de anillo) puede ser interpretado de esa manera. La interpretación aún mantiene hasta la mayoría de desordenada de los campos, aunque, a continuación, utilizar la palabra "magnitud" pierde su significado.

Si usted desea incluir todas las cosas que usted consigue con el de Cayley-Dickson construcción en los reales, entonces usted tendría que ir más lejos para no asociativo de los anillos.

Por otro lado, si usted está más interesado en números como contar las cosas, entonces usted debe echar un vistazo a los números cardinales. Estos captura de los tamaños de los conjuntos, esencialmente. Hay cardenal de la aritmética y la multiplicación, pero desde la clase de los números cardinales no es un conjunto, que en realidad no caer en la misma categoría de los anillos.

Si no la cantidad, pero en realidad a fin de que le importa a usted, entonces usted debe buscar en los números ordinales. Estos captura de las mismas propiedades que el $\mathbb N$ ha respecto a la secuenciación y bien orderedness.