Se $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ $(\mathbb{R}-\mathbb{Q})\cap (0,1)$ homeomórficos? Mi reclamo es que lo son y estoy tratando de usar esta función:$$f:(\mathbb{R}-\mathbb{Q})\cap (0,1) \rightarrow (\mathbb{R}-\mathbb{Q})\cap (0,\infty)\;\;\;\; \;f(x)=\frac{1}{x}-1$$ which is a restriction of $g=1/x-1$. Proven this, then it would be easy to prove it for ($-\infty$,$+\infty$). So I think I now need to show that $f$ is well defined, which is true because $g$ transform rational numbers into rational and irrational into irrational. So $f$ está bien definido, es bijective, pero es continua en la topología de subespacio? Creo que está usando el mismo argumento que he expuesto dos líneas anteriores. Es que mi reclamo es falsa, y/o la prueba?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, son homeomórficos. Ambos son homeomórficos para el espacio de Baire $\omega^\omega$ de todas las secuencias de números naturales, que es un clásico como resultado descriptivo de la teoría de conjuntos.
Su argumento parece correcto. La continuidad se sigue del hecho de que es una restricción de una función racional (y las funciones racionales son continuas donde se define), y de funciones racionales con coeficientes racionales preservar la racionalidad. Como la inversa de a $f$ (es decir, $1/(y+1)$) está bien definido y claramente continua y conserva la racionalidad (lo que implica $f$ preserva la irracionalidad), es suficiente.
==editar==
Acabo de darme cuenta de que la intención de mostrar homeomorphism con $\mathbf R\setminus \mathbf Q$ e no $\mathbf R_{>0}\setminus \mathbf Q$.
En este caso se deben extender su argumento un poco, como por ejemplo: $(0,1)\setminus \mathbf Q$ es fácilmente homeomórficos con $(-1,1)\setminus \mathbf Q$ ( $h(x)=2x-1$ ) y, a continuación, $f$ se define de la misma manera para los números positivos y por separado como $-f(-x)$ para los números negativos en el rendimiento de un homeomorphism en $\mathbf R\setminus\mathbf Q$. La continuidad no es todavía difícil de ver.
