Sólido de revolución vs$\iiint$

Question

En el cálculo 1, aprendí acerca de rotar una curva alrededor de un eje, por ejemplo,$y=x^2$ alrededor del eje y. En el cálculo 3, aprendí sobre la forma de los objetos 3D en el contexto de$\iiint$ de integrales triples. Estos conceptos parecen muy relacionados. Nadie, sin embargo, los ha conectado por mí. ¿Están relacionados, y si es así, cómo?

Answer 1

En coordenadas cilíndricas (altura a lo largo del eje central$x$, distancia desde el eje central$r$ y ángulo$\theta$), deje que la forma esté delimitada por$$0\le x \le x_0$ $$$0\le r \le r_0(x)$ $$$0\le\theta<2\pi$ $ Así que el sólido de revolución está dado por$$V=\int_0^{x_0}\int_{0}^{r_0(x)}\int_0^{2\pi}dV=\int_0^{x_0}\int_{0}^{r_0(x)}\int_0^{2\pi}r d\theta dr dx$ $$$V=\int_0^{x_0}\int_{0}^{r_0(x)}2\pi r dr dx$ $$$V=\int_0^{x_0}\pi r_0(x)^2 dx,$ $, que es la fórmula habitual para el volumen de la devolución dada la función de radio$r_0(x)$.