Estos productos internos no coinciden en$\mathbb C^n$

Question

En$\mathbb C^n$, podemos definir el producto interno entre$u=\{u_1,\ldots,u_n\}$ y$v=\{v_1,\ldots,v_n\}$ como$\langle u,v\rangle=u_1\overline{v_1}+\ldots+u_n\overline v_n$. He leído en un libro que podemos definir en$\mathbb C^n$ el producto interno$\langle u,v\rangle=u^*v$, donde$u^*$ es la matriz de Hermitian de$u$, el problema es que estos productos internos no no coinciden, mi pregunta es si estos productos internos son diferentes entre sí?

Gracias por adelantado

Answer 1

Realmente $u^*$ no es nada más que la conjugada transpuesta, es decir, si $u=\left(\begin{array}{c} u_1 \\ \vdots \\ u_n\end{array}\right)$,$u^* = (\begin{array}{c} \overline{u_1} & \cdots & \overline{u_n}\end{array})$. Así que en ese punto de $u^*v$ es solo el regular producto escalar (que da $\langle u,v\rangle = u^*v = \overline{u_1}v_1+\cdots+\overline{u_n}v_n$) y de modo que la resultante producto interior es casi idéntica a la primera de ellas en su post, salvo que el complejo conjugado es opuesto. Para todos los efectos prácticos interior de los productos son idénticos (resultados que obtiene de los primeros corresponden a los resultados equivalentes a partir de la otra). Así, mientras que las expresiones son diferentes, son en realidad dos caras de la misma moneda, si quieres pensar que es así.

La elección de dónde poner el conjugado históricamente ha sido el foco de un poco de debate entre los físicos y los matemáticos. La mayoría de los físicos a menudo conjugar el primer vector, mientras que los matemáticos como para conjugar el segundo vector pero es una cuestión de estilo en lugar de la sustancia como no hay ninguna razón para elegir uno sobre el otro. Todo esto equivale a decir que el interior de los productos son lineales en el segundo argumento y conjugar lineal en el segundo argumento frente interno de los productos son lineales en el primer argumento y el conjugado lineal en el segundo argumento (resp. a partir de los físicos y matemáticos). Personalmente, elijo a poner el conjugado en $v$ en lugar de $u$, pero a cada uno lo suyo.