Esta respuesta ha sido editada como me di cuenta de que me había contestado al principio sin entender la pregunta ("no, espera, soy un imbécil!" experiencia). Por lo tanto, voy a empezar con algunas de fondo innecesarios.
Vamos a estar de acuerdo para llamar a un co-vector $p_i$ perpendicular (y dejar el término normal para métricamente vectores normales; pronto veremos que son el mismo) a una hipersuperficie $\Sigma$ definido localmente por $f = 0$ para algunos liso función de $f$ si $p_i$ es colinear con $df$ sobre todo $\Sigma$. De igual manera, el vector $t^i$ se conoce como: si para todas las $q \in \Sigma$ tenemos $t^i|_q \in T_q\Sigma$. Tenga en cuenta que es obvio que cualquier perpendicular co-vector debe ser normal para todos los vectores tangenciales. Por tanto, no-null hypersurfaces la (unidad) perpendicular y la (unidad) normal coinciden y por la continuidad de la perpendicular es una elección adecuada de los normales también null hypersurfaces.
Null hypersurfaces hay un $t^i$ correspondiente a cada una de las $p_i$ tal que $t_i = p_i$, que está a la mano en tu pregunta: por las razones arriba mencionadas parece que $k^i$ flujo es tanto y tangencial perpendicular/normal (de haber demostrado anteriormente que son la misma).
La orientación de la superficie de cualquier elemento de la hipersuperficie, incluyendo un null uno, puede ser escrito como (ver, por ejemplo, mi respuesta a estapregunta)
$$
d\Sigma_i = \varepsilon_{i\vec{J}}\omega^{\vec{J}}|_{\Sigma},
$$
donde $\varepsilon$ denota la de Levi-Civita tensor, $\vec{J}$ denota estrictamente creciente multi-índices, $\omega^i$ es el local marco de $T^*M$, e $|_{\Sigma}$ denota la proyección en $\Sigma$, definido por $T^*M \to T^*\Sigma$ en coordenadas locales, $(f,u,x,y)$ donde $u$, $x$, y $y$ están las coordenadas de $\Sigma$, simplemente por $df = 0$. En el correspondiente cuadro de coordenadas $k^f \equiv 0$ desde $k^i$ es tangencial a $\Sigma$, de donde es fácil ver que $k^id\Sigma_i \equiv 0$. Esto nos dice que el flujo definido por $k^i$ ¿ no cruzar $\Sigma$.
Desde $k_i$ es colinear con $df$ tenemos $k_i = \varrho df = \varrho\delta^f_i$ donde $\ell^i$ contiene el término $-\varrho^{-1}\partial_f = -\varrho^{-1}\delta^i_f$.
Así
$$
\ell^id\Sigma_i = -\varrho^{-1}\varepsilon_{f\vec{J}}\omega^{\vec{J}}|_{\Sigma} \neq 0.
$$
Por lo tanto el flujo definido por $\ell^i$, obviamente no cruzar $\Sigma$, que debe venir como ninguna sorpresa ya que $\ell^i$ no es tangente a $\Sigma$. Pero, ¿hay alguna razón para considerar la $\ell^i$ "normal" a $\Sigma$? Hay un piori no hay una única forma de definir a una normal, pero si tenemos en cuenta 3+1 formalismo de la foliación del espacio-tiempo induce una foliación de $\Sigma$, y (como se puede saber) $\ell^i$ puede ser definido de forma exclusiva (hasta la normalización con respecto a $k^i$) como el vector nulo no colinear con $k^i$ que es normal que las hojas.
Para tomar un local de Lorentz marco donde se $e_0$ es la normal a la 3+1 foliación, y $e_1,e_2,e_3$ se extiende por las hojas. Podemos seleccionar $e_1$ tal que $k^i = N(\delta^i_0 + \delta^i_1)$ (aquí se $N$ es la función de lapso, seleccionados por exigente que $k^i = x^i{}_{,t}$ donde $t$ parametrizes la foliación). A continuación, $\Sigma$ es distribuido por $k^i$, $\delta^i_2$, y $\delta^i_3$$\ell^i = \frac{1}{2N}(\delta^i_0 - \delta^i_1)$. Para mayor claridad os muestro a continuación que el de la normalización de los $N$ no se puede utilizar para resolver por $\varrho$, que debe venir como ninguna sorpresa ya que $\varrho$ depende de $f$
Se puede demostrar que $k^i$ debe ser null geodésica vector de velocidad, donde podemos elegir $k^i = \partial_u$ sin restricción. En el local de Lorentz marco de este nos da $\varrho df = k_i = N(\delta^0_i - \delta^1_i)$$-du = \ell_i = \frac{1}{2N}(\delta^0_i + \delta^1_0)$. Nos encontramos
\begin{align*}
\omega^0 &= \frac{1}{2}\left(2N\ell_i + \frac{1}{N}k_i\right) &
\omega^1 &= \frac{1}{2}\left(2N\ell_i - \frac{1}{N}k_i\right) \\
&= -\frac{1}{2}\left(2Ndu - \frac{\varrho}{N}df\right), &
&= -\frac{1}{2}\left(2Ndu + \frac{\varrho}{N}df\right).
\end{align*}
La proyección en $\Sigma$ rendimientos
$$
\omega^0|_\Sigma = \omega^1|_\Sigma = -Ndu,
$$
de dónde
$$
\ell^id\Sigma_i = -du\wedge\omega^2\wedge\omega^3.
$$
Por último destacar que en el marco de $(df,du,\omega^2,\omega^3)$ la métrica toma la forma
$$
g_{ij} = \begin{bmatrix}
0 & \varrho & 0 & 0 \\
\varrho & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$
de modo que $\sqrt{|g|} = \varrho$, e $-\varrho^{-1}\varepsilon_{f\vec{J}}\omega^{\vec{J}} = -du\wedge\omega^2\wedge\omega^3$.
Otras opciones naturales de las normales (que son normales a la inducida por la foliación) $e_0$ (timelike) y $e_1$ (spacelike), pero el vector nulo $\ell^i$ se utiliza a menudo porque simplifica las fórmulas para la descripción de $\Sigma$.
He encontrado este (Gourgoulhon y Jaramillo, de la Física de los Informes 423 (2006) 159 – 294) paywalled (creo) el papel de ser una muy buena fuente de null geometría en 3+1 formalismo, pero estoy seguro de que hay otros. Más información sobre la proyección sobre el vector nulo $\ell^i$ se puede encontrar allí (pero tenga en cuenta que el uso de los opuesta a la notación, por lo tanto su $\ell$ es el $k$, y viceversa).
