Obsérvese que se obtiene un conjunto de Vitali para cada elección de representantes de las clases de equivalencia, por lo que de hecho hay muchos conjuntos de Vitali, no sólo uno.
Un conjunto Vitali no necesita ser denso en $[0,1)$ . Por ejemplo, en lugar de elegir representantes que estén en $[0,1)$ puede elegir a los representantes que están en $[0,q)$ para cualquier racional $q\gt 0$ en particular, puede asegurarse de que su conjunto Vitali se limite a una parte lo más pequeña posible de $[0,1)$ como quieras especificar (y también puedes traducir el conjunto añadiendo una constante racional).
Para ver esto, basta con mostrar que para cada número real $r$ hay un número real $s\in [0,q)$ tal que $r-s\in\mathbb{Q}$ . Pero esto es fácil: elige una razón $t\in [0,q)$ . Por la propiedad de Arquímedes, existe $N\geq 0$ tal que $Nt\leq r\lt (N+1)t$ . En particular, $0\leq r-Nt\lt t$ , por lo que dejar que $s=r-Nt$ da el número real deseado.
Como todo real es equivalente a algún real en $[0,q)$ Siempre puede elegir los delegados de clase que desee. $[0,q)$ (en lugar de $[0,1)$ ). Así que puede asegurarse de que tiene un conjunto Vitali está contenida en $[0,q)$ .
Del mismo modo, si selecciona cualquier intervalo $(a,b)$ contenida en $[0,1)$ puede encontrar un conjunto Vitali que está contenido en $(a,b)$ y en particular cuyo cierre no es $[0,1]$ si $0\lt a\lt b\lt 1$ .
De hecho, se puede encontrar un conjunto de Vitali que tenga una medida exterior muy pequeña (cualquier medida exterior positiva mayor que $0$ y más pequeño que $1$ que le interese especificar de antemano): véase, por ejemplo La respuesta de JDH a esta pregunta .
