Refute o demuestre utilizando la definición delta-epsilon de límite que $\lim_{(x,y) \to (0,0)}{\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}} = 0$

Question

Quiero probar si el siguiente límite existe, usando la definición épsilon-delta, o probar que no existe: $$\lim_{(x,y) \to (0,0)}{\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}} = 0$$

Mi intento: Primero probé algunos límites direccionales, como para $y=mx$ y $y=ax^n$ y en todas ellas obtuve 0. Así que conjeturé que este límite existe y es 0. Entonces tengo que demostrar: $$\forall \delta \gt 0 : \exists \epsilon \gt 0 : \|(x,y)\| \lt \epsilon \rightarrow \left| \frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}\right| \lt \delta$$

En primer lugar señalé que $\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} = \frac{(x^2+xy+y^2)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$ .

Entonces hice $\left|\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\right| \leq \left|\frac{x(x+y)}{x+y}\right|+\frac{y^2}{\vert x+y\vert} = \vert x \vert + \frac{y^2}{\vert x+y\vert}$

Utilizando $\|(x,y)\| = \vert x\vert + \vert y\vert$ y asumiendo $\|(x,y)\| \lt \epsilon$

$\vert x\vert + \vert y\vert = \vert x \vert + \frac{ y^2}{\vert y \vert} \geq \vert x \vert+\frac{y^2}{\vert y\vert+\vert x\vert}$

pero no puedo continuar desde que $\vert x + y \vert \leq \vert x \vert + \vert y \vert$ .

No sé qué más probar.

Answer 1

Así que lo has reducido a $\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$ . Ese denominador es cero en algo más que el origen $(0,0)$ . Lo que ocurre en (o cerca de) la línea $y=-x$ ?

Answer 2

Pista: Intenta algo cercano a las líneas prohibidas $x^2=y^2,$ como $y=x^3-x.$

Answer 3

Utilizar coordenadas polares $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ . Debido al dominio tenemos $\cos\theta\ne\pm\sin\theta$ . La sustitución en su fórmula da $$\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}=r\,\frac{\cos^3\theta-\sin^3\theta}{\cos^2\theta-\sin^2\theta}\ .$$ Ahora bien, no es difícil demostrar que $$\frac{\cos^3\theta-\sin^3\theta}{\cos^2\theta-\sin^2\theta}\to\infty\quad \hbox{as}\quad \theta\to\Bigl(\frac{3\pi}{4}\Bigr)^{\textstyle-}\ .$$ Así pues, consideremos la trayectoria dada por $$r=\frac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{\cos^3\theta-\sin^3\theta}\ ,\qquad \theta\to\Bigl(\frac{3\pi}{4}\Bigr)^{\textstyle-}\ .$$ Esto se acercará al origen, pero para cada punto de este camino tienes $$\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}=1\ .$$ Por tanto, el límite no existe.

Answer 4

OK, aquí hay una respuesta completamente diferente usando $(x,y)$ sólo coordenadas y sin parámetros.

Básicamente, prueba una curva de potencia $y=x^n$ .

PERO esto le da una trayectoria que se aproxima al origen cerca del $x$ o $y$ eje, lo que no es un problema. Así que tenemos que modificarlo para colocarlo cerca de la línea "problema" $y=-x$ .

Considere la curva $$y=-x+x^2\ .$$ Esto estará dentro del dominio de su función siempre que $x\ne0,2$ . Así que podemos tomar $x\to0$ lo que implica $y\to0$ por lo que la curva se aproxima al origen. A lo largo de esta curva tenemos $$\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}=\frac{2x^3-3x^4+3x^5-x^6}{2x^3-x^4} =\frac{2-3x+3x^2-x^3}{2-x}$$ que tiende a $1$ comme $x\to0$ . Por lo tanto, el límite no existe.