Construir el haz vectorial plano asociado a una determinada representación lineal del grupo fundamental

Question

Estoy leyendo esto notas y tengo algunas preguntas sobre la construcción de la página 18.

Dejemos que $M$ sea una variedad conectada y $E\rightarrow M$ un haz vectorial plano sobre $M$ . Considere $\{(U_\alpha, \phi_{U_\alpha})\}$ un atlas plano de $E\rightarrow M$ es decir, las funciones de transición $g_{U_\alpha, U_\beta}$ asociadas a las trivializaciones son localmente constantes. Hay una forma canónica de asociar una representación $\rho:\pi_{1}(M, m_0)\rightarrow \mathrm{GL}(d, \mathbb{K})$ a este haz vectorial plano de la siguiente manera:

• Fijar un conjunto abierto $U$ que contiene $m_0$ , de tal manera que $U$ está en el atlas.
• Para cualquier bucle $\gamma: [0, 1] M$ , $(0) = (1) = m_0$ hay una subdivisión $0 = t_0 t_1 · · · t_N t_{N+1} = 1$ de $[0, 1]$ y conjuntos abiertos $U_0, \dots, U_N$ en el atlas, de manera que $U_0 = U_N = U$ y, para todos $i=0, \dots, N$ , $\gamma([t_i, t_{i+1}])\subset U_i$ .

entonces, define: $$ \rho(\gamma)=g_{U_N ,U_{N1}}((t_N))\dots g_{U_2,U_1}((t_2))g_{U_1,U_0}((t_1)) $$

La pregunta es sobre la prueba de que el siguiente mapa es sujetivo: $$ \frac{\{\mbox{flat bundles of rank $ d $ over $ M $}\}}{\mbox{isomorphism}}\rightarrow \frac{\mathrm{Hom}(\pi_{1}(M, m_0), \mathrm{GL}(d, \mathbb{K}))}{\mbox{conjugacy}} $$ es decir, dada una representación lineal $\eta$ de $\pi_{1}(M, m_0)$ Necesito encontrar un paquete de vectores planos $E_\eta$ , tal que la representación asociada $\rho$ descrito más adelante es igual a $\eta$ .

Aquí está la construcción:

Dejemos que $\eta : _1(M, m_0)\mathrm{GL}(d,\mathbb{K})$ sea un morfismo, entonces el haz trivial $\widetilde{M} × \mathbb{K}^d$ sobre la cubierta universal $\widetilde{M}$ de $M$ tiene una estructura plana evidente junto con una acción de $_1(M, m_0)$ preservando la estructura plana: $$ · (\tilde m, v) = (\tilde m, \eta()v)\quad _1(M, m_0), \tilde m \in M, v \in \mathbb{K}^{d}. $$ Aquí $ \tilde m \tilde m$ es la acción natural de $_1(M, m_0)$ en la cubierta universal $\widetilde{M}$ . El cociente del haz trivial $\widetilde{M} × \mathbb{K}^d$ por esta acción se denota $E_\eta$ y es naturalmente un haz plano sobre la base $M$ .

Estoy tratando de encontrar las trivalizaciones de $E_\eta$ . ¿Alguien sabe cómo encontrarlo? ¿Alguna pista?

Answer 1

Se trata de una construcción estándar sobre haces principales llamada "haz asociado". Hay una wikipedia página y puedes encontrarlo en el libro de Kobayashi Fundamentos de Geometría Diferencial vol 1 .

Considere $\widetilde{M}$ como el haz principal $\pi_{1}(M) \circlearrowleft \widetilde{M} \to^{\pi} M$ con la acción contraria a la definida $\widetilde{m}g := g^{-1}\widetilde{m}$ . Dado $\eta : \pi_{1}(M) \to GL(K,d)$ para cada $u \in \widetilde{M}$ y $v \in \mathbb{K}^{d}$ denotan $(u,v]_{\eta}$ la clase de $(u,v)$ en $E_{\eta}=(\widetilde{M} \times \mathbb{K}^{d})/\sim$ . Denote por $\pi_{\eta} : E_{\eta} \to M$ la proyección del haz. Cada punto $u \in \widetilde{M}$ actúa como un mapa lineal $u : \mathbb{K}^{d} \to (E_{\eta})_{\pi(u)}$ por $u(v)= (u,v]_{\eta}$ .

Ahora, dada una sección local $s : U \subseteq M \to \widetilde{M}$ se puede asociar a un $E_{\eta}$ trivialización $\phi_{s} : \pi_{\eta}^{-1}(U) \to U \times \mathbb{K}^{d}$ por \begin{align} \phi_{s}(w) = (\pi_{\eta}(w),s(\pi_{\eta}(w))^{-1}w) \end{align} donde $s(\pi_{\eta}(w)) \in \pi^{-1}(\pi_{\eta}(w))$ . Ahora bien, es un hecho conocido (y relativamente fácil de ver) de los haces principales que las secciones están en biyección con las trivializaciones (del haz principal). Así que si se construye un atlas de haces para $\widetilde{M}$ tomas las secciones asociadas y tienes un atlas para $E_{\eta}$ .

Como cobertura universal, las trivializaciones de $\widetilde{M}$ tomar la forma $\psi : \pi^{-1}[U] \to U \times \pi_{1}(M)$ con $U \times \pi_{1}(M) = \bigsqcup_{g \in \pi_{1}(M)} U$ con $U$ conectado.

Espero que esto ayude :)