ecuación diferencial parcial ecuación de calor

Question

He recibido esta tarea problema de mi profesor, pero no estoy seguro de cómo ponerlo en marcha. No se correlacionan exactamente con cualquier cosa en nuestro libro.

Considere la ecuación del calor para $u(x,t)$

$$u_t = ku_{xx}, -\infty < x < \infty, t > 0 \tag{1}$$

$$u(x,0) = f(x) \tag{2}$$

suponga que una red de sensores distribuidos de manera uniforme en el espacio, en un espacio de incremento de $\Delta x$, y que la más pequeña cantidad absoluta de cambio (variación) $u$ que puede ser detectado por un sensor (sensor de la actividad) es una constante

$$|\delta u|_{min} = \epsilon > 0 \tag{3}$$

considerar el problema de la detección de la presencia de un impulso de la variación en la condición inicial

$$\delta f(x) = a \delta(x - x_{0}) \tag{4}$$

donde $a > 0$ es un coeficiente constante y la ubicación de $x_0$ del impulso puede ser desconocida.

1. Si $\Delta x = 1$, de encontrar el máximo valor de $\epsilon$ s.t. cualquier impulso $(4)$ en la condición inicial con $a \geq 1$ será detectado por al menos uno de los sensores.

2. Dado $\epsilon > 0$ encontrar el máximo valor de $\Delta x$ a garantizar que cualquier impulso $(4)$ en la condición inicial con $a \geq 1$ será detectado por al menos uno de los sensores.

3. Dada la red de los parámetros de $\epsilon > 0$, $\Delta x > 0$, encontrar el mínimo valor de $A > 0$ s.t. cualquier impulso $(4)$ en la condición inicial con $a \geq A$ será detectado por al menos uno de los sensores.

Answer 1

Como el problema es lineal denotando $u$ la solución con $f$ como condición inicial y $u + \delta u$ la solución con $f + \delta f$ como condición inicial, usted tiene que $\delta u$ es la solución de $$ (\delta u)_t = k(\delta u)_{xx}$$ $$\delta u(x,0)=\delta f(x) a \delta(x-x_0)$$ en este caso no es una conocida solución explícita, el calor del núcleo , de modo de obtener $$\delta u(x,t)=\frac{a}{\sqrt{4 \pi t}}e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4t}}.$$ Cuando $x$ se fija en el estudio de la función de $t \mapsto \delta u(x,t)$ muestran que el máximo es de $$a \frac{1}{\sqrt{2 \pi e}} \frac{1}{|x-x_0|}$$ así que en el peor de los casos la distancia entre $x_0$ y el más cercano sensor es $\frac{ \Delta x}{2}$ la condición inicial será detectado como largo como $$a \sqrt{\frac{2}{ \pi e}} \frac{1}{\Delta x} \geq \epsilon.$$