¿Cómo probar la propiedad de cierre para $x\cdot y = \frac{x + y}{1 + \frac{xy}{c^2}}?

Question

Dado que $G$ tiene elementos en el intervalo $(-c, c)$. La operación de grupo se define como: $$x\cdot y = \frac{x + y}{1 + \frac{xy}{c^2}}$$

¿Cómo demostrar la propiedad de clausura para mostrar que G es un grupo?

Answer 1

Necesitamos probar que $$-c\leq\frac{(x+y)c^2}{c^2+xy} lo cual es $$(c-x)(c-y)>0$$ para la desigualdad derecha y $$(c+x)(c+y)>0$$ para la desigualdad izquierda.

Answer 2

Otro enfoque es escribir $x=c\tanh a,\,y=c\tanh b$ con $a,\,b\in\Bbb R$ (estos se llaman rapideces), luego mostrar $x\cdot y=c\tanh (a+b)$. Esto prueba que $G$ es isomorfo a $(\Bbb R,\,+)$.