Cómo demostrar la propiedad de cierre para $x\cdot y = \frac{x + y}{1 + \frac{xy}{c^2}}$ ?

Question

Dado $G$ tiene elementos en el intervalo $(-c, c)$ . La operación de grupo se define como: $$x\cdot y = \frac{x + y}{1 + \frac{xy}{c^2}}$$

¿Cómo probar la propiedad de cierre para demostrar que G es un grupo?

Answer 1

Tenemos que demostrar que $$-c\leq\frac{(x+y)c^2}{c^2+xy}<c,$$ que es $$(c-x)(c-y)>0$$ para la desigualdad correcta y $$(c+x)(c+y)>0$$ para la desigualdad de la izquierda.

Answer 2

Otro enfoque es escribir $x=c\tanh a,\,y=c\tanh b$ con $a,\,b\in\Bbb R$ (estos se llaman rapideces ), entonces muestra $x\cdot y=c\tanh (a+b)$ . Esto demuestra $G$ es isomorfo a $(\Bbb R,\,+)$ .