Aquí es el contexto del problema. Me gustaría demostrar que la secuencia $$a_n = \left( 1 + \frac 1n \right)^n$$ converges using the monotone convergence theorem. It is straightforward using Bernoulli's inequality to show that $\{a_n\}$ es cada vez mayor. Para concluir la secuencia converge basta para mostrar que está delimitada por encima.
La caja de herramientas disponibles es limitada. Sólo la básica ordena las propiedades de campo, la desigualdad de Bernoulli, etc. No hay funciones exponenciales o logaritmos están disponibles.
Un argumento que es esencialmente idéntica a la prueba de que $\{a_n\}$ es el aumento muestra que la secuencia $$ b_n = \left( 1 + \frac 1n \right)^{n+1}$$ is decreasing. Since $\{b_n\}$ is trivially bounded below it converges, and an application of the limit law shows $\{a_n\}$ converges to the same limit. This means I have a simple proof that $\{ a_n\}$ converges. I'm curious if I am missing an easy way to work only with $\{a_n\}$. Mi pregunta es la del título:
Hay una prueba simple que $\{a_n\}$ está delimitado por encima?
Editado para añadir: gracias por las sugerencias hasta el momento. El contexto exacto del problema es un ejemplo de un análisis real de la clase. Los estudiantes son conscientes del hecho de que la línea es un completo ordenado de campo, hemos visto la definición de una secuencia convergente, han demostrado algunos límite de las leyes, y acabo de ver la prueba de la monotonía teorema de convergencia. El teorema del binomio y todo lo relacionado de la serie aún no se conoce. Yo podría trabajar a través de la prueba del teorema del binomio, pero estoy buscando a ver si pasa a ser una realidad simple prueba de acotamiento de $\{a_n\}$, no es mucho más difícil que la prueba de que $\{b_n\}$ está delimitado a continuación. No soy consciente aún de cualquier prueba, de ahí mi pregunta.
