Producto de punto con una constante

Question

¿Qué es $\vec {a} \cdot ( \vec {b}+c)$ donde $c$ es una constante?

¿Soy capaz de sacar la constante, o multiplico la constante por el vector como un escalar?

EDITAR (para el contexto): Estaba encontrando el trabajo hecho en una partícula que se movía en la curva $C$ : $x=cos(t)$ , $y=sin(t)$ desde $2 \pi \leq t \leq 0$ a través del campo vectorial $\vec {F}(x,y)= -y \hat {i} +x \hat {j}$ . Descubrí que el trabajo realizado es $-2 \pi$ . Quería averiguar cómo cambia ese trabajo cuando ese mismo círculo se mueve horizontalmente por $n$ unidades, de modo que $x=cos(t)+n$ donde $n$ es una constante. Aquí está mi trabajo que me llevó a este tema: $$\oint_ {C} \vec {F} \cdot d \vec {r}$$ $$\oint_ {2 \pi }^{0} (-sin(t) \hat {i} +(cos(t) +n) \hat {j}) \cdot (-sin(t) \hat {i} +cos(t) \hat {j}) dt$$ Pero no sabía cómo cruzar $(cos(t)+n)$ con $(cos(t)$

Answer 1

Este producto no tiene ningún significado ya que la suma entre paréntesis no está definida; no se puede añadir un vector y un escalar.

$c$ debe ser un vector, entonces se define la suma y el producto dado es un producto puntual.

Answer 2

Para que una expresión sea definida, todas sus partes constitutivas necesitan ser definidas también.

La suma de un vector y una constante $\vec b + c$ no está definida, y por lo tanto la expresión $\vec a \cdot ( \vec b + c)$ no está definido.

Esto se aplica a cualquier escalar, no sólo a las constantes, porque $c$ puede depender de otra variable.

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Aunque probablemente tenga sentido para ti que $$\vec a \cdot ( \vec b + c) = \vec a \cdot \vec b + c \cdot \vec a$$ ninguno de los lados de la ecuación está definido, lo que significa que no se puede utilizar la distribución de la forma en que se utilizó anteriormente.

Answer 3

Otros ya han abordado su pregunta sobre la adición de un escalar a un vector (y luego tomar el punto producto de eso con otro vector), pero no la cuestión subyacente que lo llevó a intentar esa operación mal definida (a menos que trabaje con álgebras geométricas de fantasía).

En pocas palabras, dices que quieres traducir la trayectoria del objeto por $n$ unidades a lo largo del eje horizontal . Por lo tanto, la constante que se debe agregar a la posición del objeto no es el escalar n pero el vector $n \hat j$ (donde $\hat j$ es el vector de la unidad horizontal, como parece ser en su pregunta). Una vez que lo arregle, todo debería funcionar bien.

En particular, el producto del punto se distribuye sobre la suma de los vectores, de modo que $\vec a \cdot ( \vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c$ .

Answer 4

Esto está perfectamente bien. Las interpretaciones del álgebra geométrica de Grassman/Clifford tienen una explicación perfectamente sana para estos objetos. Para cualquier número de dimensiones, expandir el vector en sus componentes, donde $e_1$ y $e_2$ son vectores unitarios mutuamente perpendiculares. El producto de punto con paralelo es 1 (es decir: cos). El producto puntual con perpendicular es 0 (es decir: cos)

$$( \vec a) \cdot ( \vec b + c) = (a_1 e_1 + a_2 e_2) \cdot (b_1 e_1 + b_2 e_2 + c) \\ = a_1 e_1 \cdot (b_1 e_1 + b_2 e_2 + c) + a_2 e_2 \cdot (b_1 e_1 + b_2 e_2 + c) \\ = a_1 b_1 + c a_1 e_1 + a_2 b_2 + c a_2 e_2 \\ = (a_1 b_1 + a_2 b_2) + c (a_1 e_1 + a_2 e_2) \\ = \vec a \cdot \vec b + c \vec a$$

Es la misma respuesta anterior, pero con una explicación del por qué. Fíjense que esta es una respuesta escalar más un vector. La pregunta también tenía un escalar más un vector. Cuando se suman y multiplican estos, se puede terminar con algo que termina siendo real, o imaginario, o algo más con un significado geométrico directo. Puedes usar esto para encontrar cosas como el vector más la rotación en el plano $e_1 e_2$ (es decir: un avión imaginario que podemos llamar $I$ ):

$$s = (a_1 b_1 + a_2 b_2) \\ (s + c (a_1 e_1 + a_2 e_2)) e_1 e_2 \\ s e_1 e_2 + ( c a_1 e_2 - c a_2 e_1 ) \\ s I + c( -a_2 e_1 + a_1 e_2 )$$