Calcular el grupo fundamental _visualmente_ por la representación poligonal del espacio

Question

Hace algún tiempo, antes de aprender sobre los espacios de cobertura y el teorema de Seifert-Van Kampen, intenté calcular visualmente el grupo fundamental de algunos espacios. Por ejemplo, he descubierto por mí mismo que el grupo fundamental del plano proyectivo $\mathbb{RP}^2$ es $\mathbb{Z}_2$ . Lo encontré dibujando caminos en el poligonal representación de esta superficie. Esto es lo que escribí

Lo siento, está en italiano, pero las partes importantes son los dibujos. En (1) muestro que los caminos en el interior del rectángulo son triviales; en (2) muestro que los caminos que cruzan la frontera una vez no son triviales; en (3) muestro que los caminos que cruzan la frontera dos veces son de nuevo triviales.

Lo sé. no es una prueba pero eso no es realmente importante: lo hice para desarrollar la intuición. Entonces, ¿cuál es mi pregunta?

Quiero hacer esto para otros espacios que se pueden obtener pegando un polígono. Sé cómo hacer esto con Seifert-Van Kampen, pero quiero visualizar como en el ejemplo anterior. El problema es que cuando pruebo con diferentes espacios, no sé qué Puedo hacer y que No puedo hacer . Por ejemplo, lo he intentado con el sombrero Dunce (ver más abajo). Me gustaría demostrar que todos los caminos son triviales, pero cuando dibujo caminos que cruzan la frontera no soy capaz de trivializarlos, y esto es porque "aparecen" en tres lados (los tres identificados) y no sé en qué condiciones puedo hacerlos retroceder en el interior.

¿Cómo puedo tratar, en general, la representación poligonal de un espacio? ¿Cómo puedo visualizar su grupo fundamental a partir de ella? ¿Qué puedo hacer? ¿Cómo puedo tratar la frontera? ¿Cuándo puedo hacer retroceder las trayectorias en el interior? Y, por ejemplo, ¿cómo puedo ver de esta manera que todos los caminos en el Sombrero de los Tontos son triviales?

EDITAR

Por ejemplo, ¿cómo puedo demostrar que esto es trivial?

Answer 1

Tal vez esta sea la imagen que está buscando. Me refiero a un camino que traza el borde orientado como $a$ y su inversa como $a^{-1}$ . Obsérvese que cada trayectoria continua en el casquete (en realidad cualquier complejo CW) puede deformarse continuamente para trazar sólo aristas (de la estructura CW dada). Esto debería ser algo visualmente intuitivo, enderezando el camino a lo largo de las aristas, de vértice a vértice. Así, si la trayectoria $a$ es trivial, al igual que cualquier otro camino (¿ves por qué?).

Un comentario en cuanto a las deformaciones permitidas - eres libre de empujar tu trayectoria como quieras, y sobre las aristas (reemergiendo en cualquiera de las copias de la arista, anotando las orientaciones). Esto es lo que ocurre entre la primera y la segunda imagen. La única regla importante es que NO puedes mover nunca el punto base (=punto inicial y final de tu trayectoria).

Tenga en cuenta que no mover el punto base que pasa de la primera a la segunda imagen, ya que las tres esquinas del triángulo son, literalmente, el mismo punto del gorro de burro.

Edición: Según tu edición, una forma de hacerlo directamente es esta. Normalmente, se diría que el casquete está conectado, por lo que su grupo fundamental relativo a algún punto base es trivial si y sólo si es trivial para algún otro punto base (lo que hemos mostrado arriba).

Answer 2

Muchas gracias a amueller, que me ha iluminado.

He cambiado su solución, con el fin de evitar a (1) cambiar el punto base (2) "saltar" de un lado a otro. Me parece que la solución, inspirada en amueller, sólo se mueve en la frontera de ida y vuelta. También he probado con otro camino. Aquí los dibujos ("esempio" significa "ejemplo")