Varianza del seno y coseno de una variable aleatoria

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria extraída de una distribución normal con media $E$ y varianza $V$. ¿Cómo podría calcular la varianza de $\sin(X)$ y $\cos(X)$?

(Pensé que la pregunta era simple e intenté buscar, pero no encontré una buena respuesta.)

¿Qué pasa si no hay suposiciones sobre la distribución de $X$, y solo se proporcionan la media muestral y la varianza?

Answer 1

Lo que está abajo es para $\mu=0$ (y la varianza renombrada $\sigma^2$). Entonces $\mathbb{E}[\sin X]=0$, y tienes $$\operatorname{Var} \sin X = \mathbb{E}[\sin^2 X] = \frac{1}{2}\left(1-\mathbb{E}[\cos 2X]\right)$$ y $$\mathbb{E}[\cos 2X] = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{2^{2k}}{(2k)!} \mathbb{E}[X^{2k}] = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{2^{2k}}{(2k)!} \sigma^{2k} (2k-1)!! = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{2^{k}\sigma^{2k}}{k!} = e^{-2\sigma^{2}}$$ y por lo tanto $$\operatorname{Var} \sin X = \boxed{\frac{1-e^{-2\sigma^2}}{2}}$$ Puedes tratar con la varianza de $\cos X$ de manera similar (pero ahora debes restar un $\mathbb{E}[\cos X]^2$ distinto de cero), especialmente recordando que $\mathbb{E}[\cos^2 X] = 1- \mathbb{E}[\sin^2 X]$.

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Ahora, para una media no nula $\mu$, tienes $$\sin(X-\mu) = \sin X\cos \mu - \cos X\sin\mu$$ (y de manera similar para $\cos(X-\mu)$). Dado que $X-\mu$ es una Gaussiana de media cero con varianza $\sigma^2$, ya hemos calculado la media y la varianza de $\sin(X-\mu)$, $\cos(X-\mu)$. Puedes usar esto con las identidades trigonométricas anteriores para encontrar las de $\cos X$ y $\sin X$. (es un poco engorroso, pero no demasiado difícil.)

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Sin saber nada sobre la distribución de $X$, no creo que haya mucho que puedas hacer.

Answer 2

Aquí hay una formulación general usando la ley del estadístico inconsciente que también se puede aplicar a otras funciones. Sin embargo, para los cálculos específicos con las funciones $\sin$ y $\cos$ aquí, ¡diría que la respuesta de Clement C. es mejor!

La media de $\color{blue}{h(X)}$ (para alguna función $h$) se calcula mediante la integral $$\mathbb{E}[h(X)]=\int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{h(x)}f_X(x)\, dx,$$ donde $f_X$ es la función de densidad de probabilidad de $X$.

El segundo momento se encuentra de manera similar como $$\mathbb{E}\left[(h(X))^2\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{(h(x)^2)}f_X(x)\, dx.$$

Una vez que conozcas los primeros dos momentos aquí, puedes calcular la varianza utilizando $\mathrm{Var}(Z) = \mathbb{E}[Z^2] - (\mathbb{E}[Z])^2$.

Sustituye $h(x)$ con $\cos x$ para las expectativas correspondientes de $\cos X$, y de manera similar con $\sin x$.

Si no se conoce la distribución de $X$, generalmente no podemos calcular la media y la varianza exactas de $h(X)$. Sin embargo, puedes consultar esto para algunas aproximaciones que podrían utilizarse. Algunas útiles para ti podrían ser que si $X$ tiene una media $\mu_X$ y una varianza $\sigma^2_X$, entonces $$\mathbb{E}[h(X)]\approx h(\mu_X) + \dfrac{h''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$$ y $$\mathrm{Var}(h(X))\approx (h'(\mu_X)^2)\sigma^2_X + \dfrac{1}{2}(h''(\mu_X))^2 \sigma^4_X.$$

Answer 3

$\cos^2(x) = \frac{\cos(2x)+1}2$, lo cual promedia a $\frac12$. Entonces, a medida que la varianza de $X$ tiende a infinito, la varianza de $\cos(X)$ tiende a $\frac12$, asumiendo que la distribución de $X$ es "bien comportada". El límite inferior es $0$ (la varianza se puede hacer arbitrariamente pequeña eligiendo la varianza de $X$ suficientemente pequeña), y como dice @angryavian, el límite superior es $1$. Dado que $|\cos(x)| \leq 0$, y la desigualdad es estricta para todo excepto un conjunto de medida cero, la varianza de $\cos(X)$ es menor que la varianza de $X$.

Answer 4

Sé que esta no es la respuesta que estás buscando, pero puedes calcularla de manera empírica fácilmente a través de programación probabilística. Aquí tienes un ejemplo con Python y pymc3, tomando $E=0.75$ y $V=0.25^2$:

import pymc3 as pm
import numpy as np

with pm.Model() as model:
    x = pm.Normal('x', mu=0.75, sd=0.25)
    y = pm.Deterministic('y', np.sin(x))
    trace = pm.sample(10000)

pm.plot_posterior(trace)
pm.summary(trace)

Este fragmento producirá un gráfico mostrando la distribución de $X$ y $Y=\sin(X)$

Y esta tabla, que muestra la media, desviación estándar, límites para el intervalo de confianza del 95%, y algunos diagnósticos para asegurarse de que los resultados son fiables (lo son):

       mean        sd  mc_error   hpd_2.5  hpd_97.5        n_eff      Rhat
x  0.747098  0.248358  0.003078  0.269450  1.240856  7756.202193  0.999998
y  0.658854  0.178794  0.002208  0.322414  0.980199  7731.781691  1.000049

Answer 5

Aquí llamaré al valor esperado $\mu$ y la varianza $\sigma^2.$ $$\begin{align} \operatorname E(\sin X) = {} & \operatorname E\left( \frac{e^{iX} - e^{-iX}}{2i} \right) \\[8pt] = {} & \operatorname E \left( \frac{e^{i(\mu+\sigma Z)}-e^{-i(\mu+\sigma Z)}}{2i} \right) \\[8pt] = {} & \frac 1 {2i} \left( e^{i\mu} \operatorname E( e^{i\sigma Z}) - e^{-i\mu} \operatorname E(e^{-i\sigma Z}) \right). \end{align}$$

$$\text{Y } \operatorname E(e^{i\sigma Z}) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\sigma z} \frac 1 {\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \, dz. \tag 1$$

El exponente es $$\begin{align} -\tfrac 1 2 z^2 + i\sigma z = {} & -\tfrac 1 2 \left( z^2 - 2i \sigma z \right) \\[8pt] = {} & -\tfrac 1 2 \left( z^2 - 2i\sigma z - \sigma^2 \right) - \tfrac 1 2 \sigma^2 \\[8pt] = {} & -\tfrac 1 2 \left( z-i\sigma \right)^2 - \tfrac 1 2 \sigma^2 \end{align}$$ La integral en la línea $(1)$ anterior se convierte en $$e^{-i\sigma^2/2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac 1 {\sqrt{2\pi}} e^{-(z-i\sigma)^2/2} \, dz.$$ La integral es igual a $1,$ entonces la pregunta es: ¿cómo sabemos eso?

La integral es igual a $\displaystyle \lim_{A\to\infty} \int_{-A}^{+A} \frac 1 {\sqrt{2\pi}} e^{-(z-i\sigma)^2/2} \, dz.

Entonces consideramos $$\left( \int_{+A}^{-A} +\int_{-A}^{-A-\sigma i} + \int_{-A-\sigma i}^{+A-\sigma i} + \int_{+A-\sigma i}^{+A} \right) \frac 1 {\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \, dz$$ y observamos que

• la primera integral anterior se acerca a $1$ cuando $A\to+\infty,$ y
• las segundas y cuartas integrales son fácilmente vistas como que se acercan a $0,$ y
• la tercera integral es aquella cuyo límite buscamos, y
• la suma de las cuatro integrales es $0$ porque estamos integrando a lo largo de una trayectoria que regresa a su punto de inicio y la función que se está integrando no tiene singularidades en el interior de la región rodeada.

Concluimos que $\operatorname E(e^{i\sigma Z}) = e^{-i\sigma^2/2}.$ De manera similar, $\operatorname E(e^{-i\sigma Z}) = e^{+i\sigma^2/2}.$