¿Calculando el índice$\left(\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]:\mathbb Z \left[\sqrt{5}\right]\right)$?

Question

Si $\mathcal O=\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$, me gustaría mostrar que $\left(\mathcal O:\mathbb Z \left[\sqrt{5}\right]\right)=2$. Es para mostrar que Dedekind del teorema de factorización no se aplica para el primer 2. Me siento como este debe ser básicos de computación y yo soy más de pensar en ti/olvidar algunos de mis álgebra, pero ¿cuál es la mejor manera de hacer esto? Traté de definir un mapa de $\mathcal O$ a $\mathbb F_2$ con kernel $\mathbb Z\left[\sqrt{2}\right]$ pero las cosas no fueron a trabajar. Yo también estaba pensando en mirar estas cosas como el rango 2 $\mathbb Z$-módulos, pero esto parecía una exageración tal vez. Gracias.

Answer 1

Deje $\theta=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ . Entonces $\mathbb Z[\sqrt{5}]=\mathbb Z 1 + \mathbb Z 2\theta$ y $\mathcal O = \mathbb Z 1 + \mathbb Z \theta$ . Por lo tanto, $\left(\mathcal O:\mathbb Z [\sqrt{5}]\right)= 2$ .

De forma equivalente, escriba $$\ pmatrix {1 \\ \ sqrt 5} = \ pmatrix {\ hphantom {-} 1 & 0 \\ -1 & 2} \ pmatrix {1 \\ \ frac {1+ \ sqrt {5} } {2}}$$ y tenga en cuenta que el determinante de la matriz es $2$ .

Answer 2

Para una ecuación cuadrática campo de número de $K=\mathbf Q(\sqrt d)$, donde $d\in \mathbf Z$ es la plaza libre, usted sabe que su anillo de enteros $O_K$ es el anillo de $\mathbf Z[(1+\sqrt d)/2]$ si $d \equiv 1$ mod $4$, $\mathbf Z[\sqrt d]$ lo contrario. Esto puede ser de manera uniforme por escrito como $O_K=\mathbf Z[(\delta +\sqrt \delta)/2]$, donde $\delta$ es el discriminante de $K$. Teniendo en cuenta sólo la estructura aditiva, $O_K$ puede ser visto como un $\mathbf Z$ - módulo, necesariamente sin torsión (porque incluye en un campo), por lo tanto $\mathbf Z$ libre de con $\mathbf Z$-base {${1,(\delta +\sqrt \delta)/2}$}. Dado un sub-anillo $R$ de $O_K$ que es un submódulo de $\mathbf Z$-rango de $2$, pregunta por el índice de $f=(O_K : R)$. Ejemplo : $K=\mathbf Q(\sqrt 5), R=\mathbf Z[\sqrt 5]$.

Vamos a mostrar que {$1, f\delta$} es una $\mathbf Z$-base de $R$. Por la definición del índice, $fO_K \subset R$, lo $\mathbf Z +fO_K \subset R$. Pero $\mathbf Z +fO_K$ ha $\mathbf Z$-base {$1, f\delta$}, por lo tanto, obviamente, $(O_K : \mathbf Z +fO_K)=f$, y, a continuación, $R=\mathbf Z +fO_K$, hecho. Podemos aplicar esto en el sentido contrario, a partir de una base de $R$ a coger el índice. En su ejemplo, obtenemos $f=2$.