Demuestre que la diferencia máxima de puntaje entre dos equipos consecutivos en un torneo con$n$ equipos es$n$

Question

Hay $n$ equipos en un torneo. Cada dos equipos juegan el uno con el otro una vez ( $n(n-1)/2$ juegos en todas). Las puntuaciones son: Ganar: 2, Draw: 1, Perder: 0. En el último lugar de la tabla, equipo en el $i$-ésimo lugar ha $S_i$ puntos. ( $S_1 \geq S_2 \geq S_3 \geq ... \geq S_n$) queremos demostrar que $S_{i-1} - S_{i} \leq n ;~~~ 2\leq i\leq n$.

Para la prueba, yo quería usar la inducción. Si pensamos en $n-1$ está satisfecho, entonces si tenemos que añadir el $n$-th equipo, en la peor situación si gana todos los partidos y todos los equipos en los juegos anteriores han $n-2$ puntos (todos iguales), entonces obtenemos $S_{new} - S_{first~Place~Before~Adding~New} = 2(n-1) - (n-2) = n$. Pero el problema es que no puedo demostrar que es realmente la peor situación. por ejemplo, no puedo decir si $S_{i} - S_{i-1} = n-1$ antes de añadir el $n$-th equipo, ¿qué pasará si añado $n$-th equipo?

P. S: Otro enfoque es la prueba por contradicción. Deje $S_i - S_{i-1} \geq n+1$. Supongo que esto pasa por el primer y segundo lugar. el primer lugar ha $a$ puntos y todos los demás tienen en la mayoría de las $a-n-1$ entonces si solucionamos $(n-1)(a-n-1) + a \geq n(n-1)/2 \times2$ (Suma de las puntuaciones en el y es el número de juegos *2). a continuación, llegamos $a\geq 2n -1/n -1$. Es completamente imposible que todos los otros equipos van a tener más de $2n-1/n-1 - n -1$ puntos. El problema es que yo suponía que el $n+1$ punto de diferencia se produce entre el primer y segundo lugar. No puedo generalizar este método a otras situaciones.

Así que creo que esta pregunta debería tener otra prueba sin el uso de la inducción. Así que creo que tengo nuevas ideas para resolver esto. Tal vez el problema es más fácil de lo que esta y estoy pensando en una manera equivocada y quiero encontrar un buen enfoque para resolver este problema.

P. S: se ha Añadido otro enfoque que no conducen a la respuesta.

Gracias y lo siento por mi inglés.

Answer 1

Sugerencia:

A. Mostrar $S_{i} \ge n-i$ o $S_{i+1} \ge n-i-1$ considerando el menor puntaje posible de la mejor de las peores $n-i$ equipos de:

El peor de los $n-i$ equipos juegan $\frac{(n-i)(n-i-1)}{2}$ partidos entre ellos y, por tanto la puntuación de al menos un total de $(n-i)(n-i-1)$ puntos para la mejor de las puntuaciones de al menos $n-i-1$

B. Mostrar a $S_{i-1} \le 2n-i$ o $S_{i} \le 2n-i-1$ teniendo en cuenta la puntuación máxima posible de los peores de la mejor $i$ equipos de:

El mejor $n-i$ equipos están involucrados en $\frac{n(n-1)}{2}-\frac{(n-i)(n-i-1)}{2}$ partidos y así la puntuación de no más de un total de $n(n-1) - (n-i)(n-i-1) = i(2n-i -1) $ puntos para la mejor de las puntuaciones de al menos $2n-i -1$

C. por Lo $S_{i-1}-S_{i} \le (2n-i)- (n-i) = n$ e $S_{i}-S_{i+1} \le (2n-i-1)- (n-i-1) = n$

Answer 2

Como cada uno de los resultados del juego en $2$ puntos otorgados, la suma de todos los puntajes al final del torneo se $n(n-1)$.

Supongamos que un equipo gana todos sus $n-1$ juegos para un máximo puntaje total de la $S_1=2(n-1)$. Luego el resto de la $n-1$ equipos de un total de $(n-2)(n-1)$ puntos. La puntuación más baja que el segundo lugar del equipo pueden hacer que se produce cuando todos estos equipo tienen la misma puntuación, y que la puntuación es $S_2=n-2$. Esto nos da una diferencia máxima de: $$S_1-S_2=2(n-1)-(n-2)=2n-2-n+2=n$$ Si ningún equipo gana todos sus juegos, a continuación, $S_1<2(n-1)$ e $S_2>n-2$ , con la diferencia de $S_1-S_2<n$

Del mismo modo, si un equipo pierde todos sus juegos $(S_n=0)$, los otros equipos tendrán una puntuación media de $n$, así que al menos uno tendrá una puntuación $S_{n-1}\le n$