hallazgo

Question

Encuentra $$\int\frac{\sin^4 x+\cos^4 x}{\sin^3 x+\cos^3 x}dx$ $

Lo que intenté:

PS

y $$\sin^4(x)+\cos^4(x)=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x$ $

entonces $$\sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)$ $

¿Cómo lo resuelvo? Ayudame por favor.

Answer 1

Una manera brutal es simplemente imponer la sustitución $x=2\arctan t$ , lo que lleva a $$ \int\frac{\sin x\cos x}{\sin^3 x+\cos^3 x}\,dx=2\int\frac{\frac{2t(1-t^2)}{(1+t^2)^3}}{\frac{(2t)^3}{(1+t^2)^3}+\frac{(1-t^2)^3}{(1+t^2)^3}}\,dt=\int\frac{4t(1-t^2)}{(2t)^3+(1-t^2)^3}\,dt $ $ una integral fea, pero perfectamente solucionable por descomposición de fracción parcial. Las raíces de $(2t)^3+(1-t^2)^3$ se pueden encontrar al resolver las ecuaciones cuadráticas dadas por $$\frac{1-t^2}{2t}\in\left\{-1,\frac{1+i\sqrt{3}}{2},\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right\}.$ $