¿Puede haber dos ángulos sólidos adyacentes?

Question

Gracias por la lectura. Mi pregunta real es la segunda parte en la primera parte solo estoy explicando a mí mismo. Por favor, lea a través de! Gracias.

En 2D de la geometría, es fácil imaginar lo que significa para agregar hasta 2 ángulos. Por ejemplo, en esta imagen aleatoria que me bajé de internet, puedo decir que $\angle A_5A_1A_4 + \angle A_4A_1A_3 = \angle A_5A_1A_3$

Sin embargo, con una geometría 3D, estoy teniendo problemas para imaginarse lo que esto significaría para sumar dos ángulos sólidos. Si voy a agregar sólidos ángulos $A$ e $B$, que no puedo dibujar el segundo ángulo de $B$ por lo que se inicia desde el extremo de $A$, como podría si fue en 2 Dimensiones, porque sólido ángulos no tienen un solo extremo.

Así que, ¿cómo iba a ser capaz de foto 2 adyacentes sólido ángulos? O 3 adyacentes sólido ángulos? ¿O la idea de adyacencia no sólo existen cuando estamos considerando sólido ángulos?

La razón por la que estoy preguntando es porque estoy trabajando en una prueba que consiste en n forma arbitraria con un punto en algún lugar dentro de ella. En fin para mi la prueba en el trabajo, necesito dividir de la forma de la superficie en las piezas de tal manera que el ángulo subtendido por cualquier sección de una pieza de la forma de la superficie de la relación hasta el punto en que la forma es igual para todas las piezas de que la forma de la superficie.

Como se puede ver, el ángulo subtendido por cada pieza de la forma de la superficie (con cada pieza representa por una letra diferente) es el mismo para todas las piezas de que la forma de la superficie. Cada uno de ellos sobrepasan el ángulo de $\theta$

Así, tan lejos de mi prueba está funcionando (algo) para 2D. Pero la necesito para aplicar a 3D.

Pero...¿cómo iba yo a ser capaz de hacer esto en 3D? Cómo iba yo a ser capaz de romper el 3D de la forma de la superficie en áreas tales que el ángulo (ahora un ángulo sólido?) subtendido por cada sección de la forma 3D de la superficie es igual para todas las secciones?

Gracias!!

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Algo más: cuando tengo que romper la forma 3D en parches relativa a la igualdad de ángulos sólidos de su superficie, es necesario que todos los ángulos sólidos a ser muy pequeño. Gracias!

También, estoy pensando de sólidos ángulos mal? No he estudiado de forma explícita (que probablemente tendría que pronto) pero simplemente hemos utilizado aquí y allí cuando he tenido.

Answer 1

Se debe pensar en los ángulos sólidos como parches de superficie en una determinada esfera de su elección (no se centran en el "cono" - que por cierto no es ni siquiera un cono técnicamente hablando - el "cono" está tratando de transmitir "3D-ness." Incluso para el más limpio parche de superficie de una esfera, el círculo, el 3D "cono" todavía no es un cono rigurosamente hablando. Para aún más loco parches de superficie de una esfera, algo loco con curvas y afiladas en el límite de la revisión, el "cono" es aún más retorcida). Tan solo se enfoca en el parche de superficie de la esfera.

Dado 2 loco parches de superficie en cualquier lugar en una esfera común, se podría decir que el 2 parches adyacentes ángulos sólidos si los límites de los parches de compartir al menos un punto en común.

Como una nota al margen: los ángulos y ángulos sólidos depende de donde usted coloque su círculo y colocar su esfera (Que no dependen del tamaño del círculo o el tamaño de la esfera - sólo la colocación). Dibujar algunos garabatos de línea en una hoja de papel. Qué ángulo hace que la línea ondulada sobrepasan? Dependiendo de donde usted coloque su círculo, podrás obtener diferentes respuestas. Para algunos círculos, el ángulo subtendido está cerca de a $0$. Asimismo, para ángulos sólidos. Colocar una esfera en la parte delantera de la carne de una hoja de papel (no importa el tamaño de la esfera - obtener siempre el mismo ángulo sólido). Ahora mira en la misma hoja de papel en su borde. El ángulo sólido es $0$. El área de trazado (proyectado) en una esfera es sólo una línea, que ha $0$ área.

Siempre que su objeto está cerrado, y el centro de la esfera se encuentra en el objeto, entonces el ángulo sólido se $4\pi$. Esto es más fácil para ver si la superficie de la esfera es completamente contenida dentro del objeto, o rodea completamente el objeto. Para la esfera con su centro en el objeto, pero cuya superficie es en parte dentro y en parte, la respuesta de $4\pi$, y todavía bastante fácil de ver (Puso su codo en el centro de la esfera. Y el punto de su brazo/el dedo índice para cada punto de la superficie del objeto de interés. La colección de los rayos que cruzan la esfera de la superficie es el área proyectada de la esfera)

Answer 2

Sólido ángulos no tienen una forma, y esto es confuso. DWade64 lo explica muy bien. También se puede hacer de otra forma. Imagina un rayo de luz de una fuente en un punto colocado dentro de un sobre opaco cáscara esférica con un agujero en él. Fuera de la cáscara de este rayo tiene un ángulo sólido que es el área del orificio (Estrictamente, el área del casquete esférico que se utiliza para llenar el agujero) dividido por el cuadrado del radio de la esfera. No depende de la forma del agujero; es proporcional a la fracción de la luz que se escapa. Quitar la cáscara completamente y el ángulo sólido que llena de espacio es $4\pi$.

Calcular el ángulo sólido en un caso general, es difícil. El caso más fácil es un 'triángulo esférico', formada por tres 'grandes círculos". Estos son los círculos cuyos centros están en el centro de la esfera. Si los ángulos en los tres vértices se $\alpha, \beta,\gamma$ el área es $(\alpha+\beta+\gamma-\pi) R^2$. La suma de los ángulos de un triángulo esférico son siempre mayores que $\pi$ menos que el triángulo es muy pequeña.

Una manera de conseguir ocho triángulos de igual área es tomar sus grandes círculos como el ecuador, además de dos círculos que pasa a través de los polos en ángulos rectos unos con otros. Cada triángulo tiene un ángulo recto en cada vértice y su área es de $3\times\pi/2-\pi=\pi/2$ que es un octavo de $4\pi$.

Si luego se divide cada triángulo por los grandes círculos que aconteció a partir de cada vértice al punto medio del lado opuesto obtiene 48 áreas iguales. Pero, probablemente, usted quiere que su sólida ángulos para ser arbitrariamente pequeño. No estoy aún seguro de cómo hacerlo.

ANEXO

OK yo lo veo ahora, pero puede o no puede ayudar.

Las líneas de latitud $\theta_0,\theta_1, \theta_2,..\theta_k,.. \theta_K,$ con $\theta_0=0,\theta_K=\pi/2$. Tome las líneas de longitud, con igual espaciamiento $2\pi/M$. El área de un parche

$$\frac{2\pi}{M}\int_{\theta_k}^{\theta_{k+1}}(2\pi R)(\sin{\theta}d\theta)= \frac{4\pi^2R^2}{M}(\cos{\theta_k}-\cos{\theta_{k+1}})$$ Los parches serán de igual área, si tomamos $$\theta_k=\cos^{-1}{k/K}$$