Subgrupos casi normales: ¿Existe alguna noción que sea más débil que un subgrupo normal?

Question

Deje $G$ ser un grupo, a continuación, $N$ a un subgrupo de $G$ se dice ser normal subgrupo de $G$ si $\forall g \in G$, $g^{-1}Ng = N$.

Hay alguna noción de lo que es más débil de lo normal subgrupo? Me refiero a algo como casi subgrupo normal o casi normal de los subgrupos en los que algunos de los elementos que sólo siguen la condición de normalidad.

Answer 1

Un concepto muy importante es el de la deficiencia: un subgrupo $H$ de $G$ se llama subnormal si hay una serie de $H=H_0 \lhd H_1 \lhd \cdots \lhd H_{n-1} \lhd H_n=G$. Por supuesto, cada subgrupo normal es subnormal, pero el recíproco no es cierto en general. Helmut Wielandt básicamente la teoría en 1939, uno de sus famosos resultados de la Cremallera de la Lema.

Otros conceptos a tener en cuenta son pronormal subgrupos y quasinormal o permutable subgrupos, cada uno de los cuales se generaliza una cierta propiedad de la normal de subgrupos.

Answer 2

Considere el conjunto de todos los conjugados de un subgrupo $H\leq G$ , definido por $C=\{gHg^{-1}\mid g\in G\}$ . Si $H$ es normal, claramente $|C|=1$ , así que $|C|$ puede considerarse como una medida de "qué tan lejos de ser normal" está un subgrupo.

Answer 3

¿Qué pasa con $N$ admite solo un número finito de conjugados? Por ejemplo, cuando el grupo $G$ actúa en un espacio finito, el estabilizador de un punto tiene esta propiedad.

Answer 4

En el contex localmente topológicos compactos grupos que están equipados con la medida de Haar, se puede considerar el siguiente: "Para casi todos los $g\in G$ tenemos $g^{-1} Ng=N$"

En el contexto de la Mentira grupos, uno puede considerar $g^{-1} N g$ sería isométrica a $N$ con métrica heredan de una a la izquierda (pero no a la derecha) invariantes métricos.

En el contexto de resumen de grupos puede uno dice "$\cap_g g^{-1} N g$ ha finito índice en $N$.

Answer 5

$N$ se dice que es un subgrupo comensurado si $[N:N\cap gNg^{-1}]$ es finito para cada $g\in G$ . Esto tiene muchos otros nombres (casi normal, $(G,N)$ es un par de Hecke, etc.). Esta noción se produce en diversos contextos.