Integral

Question

Trabajo fuera de la integral de la $$\int_0^{2π} e^{\large e^{ix}} \, dx.$$

Ahora estoy atascado con esto por $2$ días, así que por favor ayuda!

Aquí está mi trate de:

$$I=\int_0^{2π} e^{\large e^{ix}} dx=\int_0^{2\pi} e^{\large{\cos x+i\sin x}}dx$$ $$=\int_0^{2\pi}e^{cos x}\left(\cos(\sin x) +i\sin(\sin x)\right) dx$$ $$\overset{\large2\pi -x \rightarrow x}=\int_0^{2\pi} e^{\cos x} \left(\cos (\sin x)+i\sin(\sin(2\pi- x)\right)dx$$ $$\Rightarrow 2I=\int_0^{2\pi} e^{{\cos x}} \cdot 2\cos (\sin x)dx$$ $$\text{as}\ \sin(2\pi -x )=-\sin x$$ $$\Rightarrow I=\int_0^{2\pi} e^{\cos x}\cos (\sin x)dx$$ $$=\int_0^{2\pi} \left(e^{\cos x}\cos (\sin x)+e^{\cos (\pi-x)}\cos (\sin x)\right)dx$$ $$=\int_0^{\pi} 2 \left(\frac{e^{\cos x}+e^{-\cos x}}{2}\right)\cos(\sin x)dx$$ $$=2\int_0^\pi \operatorname{cosh}(\cos x)\cos(\sin x)dx $$

Answer 1

Un truco que aprendí hace un tiempo en AoPS fue el uso de Feynman del truco en este caso.

Deje $f(x)=f =e^{ix}$ por la simplicidad. Y tener en cuenta: $$I(t)=\int_0^{2π} e^{\large tf} dx\Rightarrow I'(t)=\int_0^{2\pi} f e^{\large tf}dx$$ Pero desde $(tf)' = \left(te^{ix}\right)'=it e^{ix} =it f$

$$\Rightarrow I'(t)=\frac{1}{it} \int_0^{2\pi} \left(e^{tf}\right)'dx =\frac{e^{tf}}{it}\bigg|_0^{2\pi} $$ Ahora $e^{ix}$ es periódica con $T=2\pi $ e $e^{2\pi i} = e^0 =1$ así tenemos:$$I'(t)=\frac{e^t -e^t}{it}=0$$ Y ya que si la derivada de una función es $0$ , a continuación, la función original debe ser una constante, esto implica que $I(t)$ es simplemente una constante, y podemos establecer cualquier valor que desee para obtener la respuesta. $$I(t)=I(0)=\int_0^{2\pi} dx=2\pi$$

Answer 2

Para cualquier $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ tenemos $\int_{0}^{2\pi}e^{nix}\,dx = 0.$ Se deduce que

PS

Answer 3

Use $z= e^{it}$ e intégrelo en la circunferencia del radio 1. Su integral se convierte en

$$ \int_{C} \frac{e^z}{iz}dz$$ which has a singularity in $ z = 0$ which is $ \ frac {1} {i}$ and using the resiude theorem then the integral is $ 2 \ pi i \; Res_0 (f) = 2 \ pi i \ frac {1} {i} = 2 \ pi $