Corolario del teorema de preparación de Malgrange

Question

Deje $f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ser una función suave, de tal manera que $$f(0,0)=0,\ \frac{\partial f}{\partial t} (0,0) = 0,\ldots, \frac{\partial^{k-1} f}{\partial t^{k-1}} (0,0) = 0,\ \frac{\partial^{k} f}{\partial t^{k}} (0,0) \neq 0,$$ a continuación, la Malgrange preparación teorema, afirma que no existe suave funciones de $c,a_0,...,a_{k-1}:\mathbb{R^n}\to\mathbb{R}$, de tal manera que cerca del origen $${\displaystyle f(t,x)=c(t,x)\left(t^{k}+a_{k-1}(x)t^{k-1}+\cdots +a_{0}(x)\right)},$$ y $c(0,0)\neq 0$.

Estoy leyendo el artículo "S. M Vishik - Campos Vectoriales Cerca de la Frontera de un Colector", y en la página $17$, dice el autor que el siguiente teorema es una consecuencia de la Magrange preparación teorema.

Corolario: Vamos a $\varphi:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ un funcionamiento tales que $$\varphi(0,0)=0,\ \frac{\partial \varphi}{\partial t} (0,0) = 0,\ldots, \frac{\partial^{k-1} \varphi}{\partial t^{k-1}} (0,0) = 0,\ \frac{\partial^{k} \varphi}{\partial t^{k}} (0,0) \neq 0,$$ entonces existe suave funciones de $b,a_1,...,a_k:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$t^{k}+\sum_{i=1}^{k-1} a_i(x,\varphi(t,x))\cdot t^i = b(x,\varphi(t,x)), $$ en una vecindad del origen.

No conozco a nadie en este corolario y me podría dar información sobre cómo demostrar o dejarme saber donde puedo encontrar su demostración?

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Sólo algunos comentarios

Esta es la parte que el autor dice tal corolario, $M$ es un colector, $Q$ es un codimension 1 submanifold de $M$ y "dispara" es un nombre de fantasía de "gérmenes".

Y el número de referencia:

sin embargo, yo no era capaz de encontrar este papel.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario.

He encontrado mencionado traducción al ruso "Особенности дифференцируемых отображений" de Malgrange del papel. Aunque el ruso es mi lengua materna, (por lo que se puede traducir por un par de lugares del papel, si es necesario) por desgracia, yo estoy lejos de ser el tema del trabajo y no lo entiendo.

Veo la fórmula muy similar (5) ni en p. 185 ni en otras páginas (183, 184, 186, 187, 188, 188).

Aquí está el mencionado corolario:

Aquí es la traducción.

Deje que dispara [lo Siento, no conozco la traducción correcta de esta palabra. Una de las principales significado de una palabra rusa "ростки" es de los brotes. AR] $\varphi_1,\dots,\varphi_p\in \mathcal E(x)$. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

($a$)' $\varphi_1,\dots,\varphi_p$ generar $\mathcal E(x)$ como $\mathcal E(y)$-módulo.

($\hat a$)' $\varphi_1,\dots,\hat\varphi_p$ generar $\hat{\mathcal E}(x)$ como $\hat{\mathcal E}(y)$-módulo.

($b$)' imágenes de $\varphi_1,\dots,\varphi_p$ en un anillo de $\mathcal E(x)/ \mathcal E(x)u^*{\frak m}({\mathcal E}(y))$ generar como un espacio lineal sobre $\Bbb R$.

($\hat b$)' imágenes de $\hat\varphi_1,\dots, \hat\varphi_p$ en un anillo de $\hat{\mathcal E}(x)/\hat{\mathcal E}(x) \hat u^*{\frak m}(\hat{\mathcal E}(y))$ generar como un espacio lineal sobre $\Bbb R$.

Ejemplo 2. Weierstraß' prepartion teorema. Deje $F(x_1,\dots, x_n)\in\mathcal E_n$ ser un habitual de rodaje de la orden de $p$ con respecto al $x_n$ (que es $F(0,\dots, 0, x_n)$) tiene un punto de $x_n=0$ cero de orden exactamente $p$). Por otra parte, vamos de nuevo a$m=n$ y un rodaje de un mapa de $u$ se define como

$$(x_1,\dots, x_{n_1}, x_n)\to (x_1,\dots, x_{n-1}, F(x_1,\dots, x_n)).$$

Obviuously, un ideal generado en el ring $\hat{\mathcal E}_n$ por elementos $x_1,\dots, x_{n-1}, \hat F$ coincide con un ideal generado en este anillo por elementos $x_1,\dots, x_{n-1}, x_n^p$. Ahora podemos aplicar el corolario del teorema 1 (necesitamos la equivalencia de las condiciones ($a$)' y ($\hat b$)'), poniendo a $\varphi_i=x^{p-i}_n$ ($1\le i\le p$). En otras palabras, cada disparar $f\in\mathcal E_n$ puede ser escrita en la forma

$$f(x_1,\dots, x_n)=\sum_{i=1}^p g_i(x_1,\dots, x_{n-1}, F)x^{p-i}_n,$$

donde todos los $g_i\in\mathcal E_n$. Introducir una notación $h_i(x_1,\dots, x_{n-1})=g_i(x_1,\dots, x_{n-1},0)$ y la observación de que $g_i-h_i=x_nk_i$ para algunos $k_i\in\mathcal E_n$. Sustituyendo $x_n$ por $F$, se obtiene el siguiente resultado:

(W) Deje $F\in\mathcal E_n$ ser un habitual de rodaje de la orden de $p$ con respecto al $x_n$. Que para cualquier disparar $f\in\mathcal E_n$ existen brotes de $Q\in\mathcal E_n$ e $h_i\in\mathcal E_{n-1}$ tales que

$$f(x_1,\dots, x_n)=F(x_1,\dots, x_n)Q(x_1,\dots, x_n)+\sum_{i=1}^p h_i(x_1,\dots, x_{n-1})x^{p-i}_n.$$

Exactamente la misma demanda de funciones de análisis constituye un Weierstraß preparación teorema de la Рюккерт del formulario. El mismo teorema en Weierstraß' forma se obtiene aplicando (W) para el caso de $f=x^p_n$;...

Answer 2

Incluso, este es demasiado largo para un comentario, y también debe ser concebido como un (esperemos útil) adición a la respuesta anterior de Alex Ravsky.

El papel [3] citado por Vishik es la traducción al ruso de el procedimiento de papel [2]: su Zentralblatt MATH revisión del estado que es simplemente un comentado resumen de la ponencia [1], apareció antes en la Seminaire Henri Cartan, por lo que debemos buscar en estos papeles en orden a buscar una prueba del corolario que Vishik de la cites. Sin embargo, aun en esos documentos y en la referencia [4], el resultado citado por Vishik no está claramente establecido en el formulario informó en su papel.

Pero echemos un vistazo a la división teorema declaró en p. 188 de [3] como la fórmula [A], que anteriormente se ha demostrado como una piedra angular en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales por Lars Hörmander (división de un polinomio) y por Stanislaw Łojasiewicz (división por un real de la analítica de la función) y el obtenido por Malgrange como un corolario de su aún más la preparación general teorema (véase también [1], documento IV, pág. 22-1 y [4], capítulo IX, §2 páginas 185-186): se establece que, dado un (generalizada) polinomio en la variable $t$ (aquí y a continuación siga la cuestión de notación, no los de las referencias citadas, y por $\mathscr{E}_{j}$ me refiero al espacio de los gérmenes de las funciones lisas en $j$variables) $$ \Pi(t,x,a)=t^{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i(x)\cdot t^i\en\mathscr{E}_{n+k+1}\quad a=(a_1,\ldots,a_k) $$ y un germen $f\in\mathscr{E}_n$, existe un germen $q\in\mathscr{E}_{n+k+1}$ y los gérmenes $h_i\in\mathscr{E}_{n+k}$, $i=1,\ldots,k$ tal forma que: $$ f(t,x)=\Pi(t,x,a)q(t,x,a)+\sum_{i=1}^k h_i(x,a)\cdot t^i $$ Esto implica que $$ b(x)\triangleq \frac{f(x)-\sum_{i=1}^k h_i(t,x,a)\cdot t^i}{q(t,x,a)}\in\mathscr{E}_{n+k+1} $$ es decir, $b$ , siendo de nuevo un suave germen ya que por construcción es divisible por $q$, lo que $$ \Pi(t,x,a)=t^{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i(x)\cdot t^i=b(x) $$ Si tenemos en cuenta el cambio de las variables utilizadas por Vishik con el fin de describir el conjunto de $Q\cap U$ $$ (t,x_1,\ldots,x_{n-1}, x_n)\mapsto(t,x_1,\ldots,x_{n-1}, \varphi(t,x)), $$ la buscó para el resultado que se deriva de la división del teorema, es decir, $$ t^{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i(x_1,\ldots,x_{n-1}, \varphi(t,x))\cdot t^i = b(x_1,\ldots,x_{n-1}, \varphi(t,x)) $$ Por último, quiero compartir con todo el seguimiento de notas

1. En revisiones anteriores de esta "respuesta" (un bateador nombre sería largo comentar) estoy un poco metido con la notación para los gérmenes: esto es debido al hecho de que en mi principal referencia [4] para ese tipo de temas, tanto Malgrange la preparación y teorema de la división teorema anterior son probado a nivel mundial para las funciones en $\mathscr{E}\equiv C^\infty$ (siguiendo la notación introducida por la teoría de las distribuciones por L. Schwartz). El dominio de las funciones para las que la división del problema se resuelve en [4] se supone no sólo un subconjunto de la norma Euclidiana del espacio $\Bbb R^n$ pero también un submanifold de un suave $C^\infty$ colector $X$.
2. A raíz de lo que he dicho en el punto anterior, me siento con derecho a dar un consejo: tal vez el mejor lugar para aprender acerca de los resultados de Malgrange es el libro [4], debido a que el enfoque adoptado por Tougeron sigue el enfoque para el problema propuesto por S. Łojasiewicz, que simplifica considerablemente Malgrange de la prueba. Ver el histórico *remarque 2.9" en [4], capítulo IX, §2 p. 187 para una descripción concisa de los diversos enfoques. Sin embargo, a pesar de su importancia en el análisis, en mi opinión, es bastante difícil para un analista de dominar esas técnicas utilizando simplemente su plan de estudios estándar de preparación.

[1] Bernard Malgrange (1962-1964), "Le théorème de preparación en géométrie différentiable. I: Posición du problème (MR160234). II: Rápeles sur les fonctions différentiables (MR160235). III: Propriétés différentiables des conjuntos analytiques (MR160236). IV: Fin de la démonstration (MR160237)" (en francés). Topologie Différentielle, Séminaire Henri Cartan, tomo 15 (1962/63), Nº 11, 14 pp. (1964), Nº 12, 9 pp. (1964), Nº 13, 12 pp. (1964), Nº 22, 8 pp. (1964), Zbl 0119.28501.

[2] Bernard Malgrange (1964), "La preparación teorema para funciones diferenciables" (en inglés), en M. F. Atiyah et al. (Ed.) Análisis diferencial, Bombay Coloquio De 1964, Tata Estudios en Matemáticas 2, London: Oxford University Press, pp 203-208, MR0182695, Zbl 0137.03601.

[3] Bernard Malgrange (1968), "La preparación teorema para funciones diferenciables" (rusia), Osobennosti differentsiruemykh Otobrazhenij, 183-189, Zbl 0199.37903.

[4] Jean-Claude Tougeron (1972), Ideaux de fonctions différentiables (francés) Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Banda 71. Berlín-Heidelberg-Nueva York', Springer-Verlag. pp. VII+219, MR0440598, Zbl 0251.58001.