¿Existe un grupo $G$ y el subgrupo $H$ , de tal manera que existe $g\in G$ con $gHg^{-1} \subset H$ y $|H:gHg^{-1}|$ es infinito?

Question

Pregunta (en nombre de mi amigo que estudia álgebra abstracta):

¿Existe un grupo $G$ y el subgrupo $H$ , de tal manera que existe $g\in G$ con $gHg^{-1} \subset H$ y $|H:gHg^{-1}|$ es infinito? ( Me inclino a pensar que esto es cierto).

Para que exista tal ejemplo, $H$ (y por lo tanto $G$ ) debe ser infinito y un subgrupo no normal de $G$ . Al principio, parece fácil. Sin embargo, realmente no conozco muchos tipos de grupos infinitos no abelianos (quizás sólo el grupo lineal general ${GL}_n(F)$ y el grupo de biyecciones). Gracias por su mínimo esfuerzo.

Answer 1

Dejemos que $\,G\,$ sea el grupo libre generado por $\,g,x_1,x_2,\dots\,$ modificada por las ecuaciones $\,gx_ng^{-1} = x_{n+1}\,$ para todos $n>0.$ Dejemos que $\,H\,$ sea el subgrupo generado por todos los $\,x_n.\,$ El índice de $\,gHg^{-1}\,$ en $\,H\,$ es infinito porque $\,x_1\,$ tiene un orden infinito. Obsérvese que hay formas más concretas de representar los grupos y las especializaciones donde todos los $\,x_n\,$ se desplazan entre sí, pero no con $\,g.\,$

Answer 2

Sí.

Por ejemplo, tome $G$ para ser la extensión HNN* $$\langle a, b, t\mid t^{-1}at=[a, b], t^{-1}bt=b\rangle$$ y $H=\langle a, b\rangle$ . Por la teoría de las extensiones HNN, $H$ se incrusta en $G$ de forma natural. Claramente $t^{-1}Ht\leq H$ . Para ver que $|H:t^{-1}Ht|$ , tenga en cuenta que la presentación $\langle a, b\mid [a, b], b\rangle$ define un grupo infinito. Por lo tanto, el más pequeño normal subgrupo de $H$ que contiene $[a, b]$ y $b$ tiene un índice infinito en $H$ por lo que el subgrupo más pequeño de $H$ que contiene $[a, b]$ y $b$ que es $\langle [a, b], b\rangle$ tiene un índice infinito en $H$ . Como $t^{-1}Ht=\langle [a, b], b\rangle$ El resultado es el siguiente.

*Para más información sobre las extensiones HNN, véase Wikipedia o el libro Teoría combinatoria de grupos por Lyndon y Schupp.

Answer 3

$\newcommand{\bZ}{\mathbf Z}\newcommand{\bN}{\mathbf N}$ Dejemos que $\overline{H}$ sea el grupo de funciones $\bZ\to \bZ$ (con adición puntual), mientras que $H$ es el grupo de funciones que desaparecen en los enteros negativos.

Ahora, consideremos el producto semidirecto $G:=\overline{H}\rtimes \bZ$ , donde $\bZ$ actúa sobre $\overline{H}$ desplazándose a la derecha, por lo que $(1\cdot f)(k)=f(k+1)$ . Entonces, si usted toma $g=(0,1)\in G$ entonces $gHg^{-1}\unlhd H$ (es sólo el conjunto de funciones $\bZ\to \bZ$ que desaparecen en los enteros no positivos) y $H/gHg^{-1}\cong \bZ$ .

Si sustituye las funciones $\bZ\to \bZ$ con funciones en cualquier otro grupo $K$ Entonces tendrás $H/gHg^{-1}\cong K$ .

Nótese que esta construcción es la (no restringida) producto de la corona de $\bZ$ con ella misma.

Answer 4

Esta es una muy buena pregunta, y la respuesta es sí.

Un ejemplo es el siguiente $G= \mathfrak{S}\mathbb{Z}$ el grupo de permutaciones de $\mathbb{Z}$ y $H$ es el subgrupo de permutaciones que fijan $\mathbb{Z}_{-}$ en forma de punto (por lo que la imagen de $\mathfrak{S}\mathbb{N}$ bajo el morfismo obvio)

Ahora para $g\in G$ , $gHg^{-1}$ es el grupo de permutaciones que fijan $g\mathbb{Z}_{-}$ en el sentido de la palabra, por lo que siempre que $\mathbb{Z}_{-}\subset g\mathbb{Z}_{-}$ tenemos $gHg^{-1}\subset H$ .

En particular, si $g\mathbb{Z}_{-}\setminus\mathbb{Z}_{-}$ es infinito, entonces $gHg^{-1}$ tiene un índice infinito en $H$ y, por supuesto, esto puede suceder si usted elige $g$ bastante bien.