Curvas parametrizadas extrañamente pero estrechamente relacionadas.

Question

Compare los dos curvas parametrizadas por $k \in \mathbb{N}^+$:

$$x_r(t) = \cos(t)(1 + r\sin(kt))$$ $$y_r(t) = \sin(t)(1 + r\sin(kt))$$

con $0 \leq t < 2\pi$ e $0 \leq r \leq 1$ (siendo el argumento de la función seno con la amplitud de la $r$ sobre el círculo en lugar del eje real) y

$$X_R(t) = R\cos(t/2)\sin(kt/2)$$ $$Y_R(t) = R\sin(t/2)\sin(kt/2)$$

(que dan Grandi rosas) con $R = 2\sqrt{r}$.

Encuentra representado el exterior ("sine") de la curva de $(x_r,y_r)$ más delgado, el interior ("rosa") de la curva de $(X_R,Y_R)$ más grueso, y el argumento de círculo (para $t$) sólo se avecina.

Las curvas están coloreados de acuerdo con el argumento de $t$ , lo que da lugar a ellos, el color que va desde el negro (para $t=0$) sobre rojo (para $t=\pi/2$), blanco (para $t=\pi$) y azul (para $t=3\pi/2$) a negro (para $t = 2\pi$).

Aquí para $k=1,3,5,7$:

Mis preguntas son:

1. ¿Por qué no esta el trabajo para, incluso, $k$?

2. ¿Qué sucede cuando $r = 1$, que es cuando también se $(x_r,y_r)$ exhibe un $k$-pliegue punto de intersección – como $(X_R,Y_R)$ siempre lo hace?

3. Especialmente: ¿Cómo son las curvas de $(x_1,y_1)$ e $(X_2,Y_2)$ relacionados (topológicamente)?

4. Que el resto de los pares de curvas de $(x,y)$, $(X,Y)$ se comportan de una manera similar?

Para $r < 1$ las curvas de$(x_r,y_r)$ e $(X_R,Y_R)$ obviamente no homeomórficos. Por otro lado $(x_1,y_1)$ e $(X_2,Y_2)$ son homeomórficos como punto de conjuntos–, pero no como la parametrización de las curvas, porque no hay ningún continua bijection $f: [0,2\pi] \rightarrow [0,2\pi]$ tal que $x_1(t) = g(X_2(f(t)))$, $y_1(t) = g(Y_2(f(t)))$ con $g$ el homeomorphism que los mapas de las dos curvas, como conjuntos de puntos.

Es esta la manera correcta de decirlo – "homeomórficos como punto de conjuntos, pero no como curvas parametrizadas" – y es que todo lo que hay para decir?

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A ver lo que va mal para, incluso, $k$, encuentra aquí los casos de $k=2,4,6$. Yo no intenta "arreglar" ellos:

Answer 1

En primer lugar, observe que por reparameterizing la Grandi rosas mediante la sustitución de $t$ con $2 t$ (por lo tanto, la duplicación de la velocidad), podemos escribir las curvas, respectivamente, como las gráficas de las funciones polares $\rho, \textrm{P}$ en la variable angular (que voy a llamar a $t$):

\begin{align} \rho &:= 1 + r \sin k t \\ \textrm{P} &:= R \sin k t . \end{align}

(1) Este punto de vista, rápidamente se explica tanto de las diferencias que notamos en las parcelas con $k$ incluso: en Primer lugar, vemos que si nos representamos $\rho, \textrm{P}$ durante un período completo (angular intervalo de $2 \pi$), la asimetría de las parcelas con $k$ incluso desaparece: Con el original de la parametrización, se traza sólo para la mitad de un período de $\textrm{P}$, que es de todos modos menos natural. Punteo de ambas curvas durante un período completo, incluso para $k$ da esto más simétrica de la gráfica (por $r = 1 / 3, k = 6$).

También podemos ver de inmediato que este problema no se produce por extraño $k$, incluso con el más lento de la parametrización. Ampliar el uso de la habitual fórmula de la suma da $$\textrm{P}(t + \pi) = R \sin k(t + \pi) = (-1)^k R \sin k t = (-1)^k \textrm{P}(t).$$ But the polar coordinates $(t + \pi, \alpha)$ and $(t, -\alpha)$ represent the same point, which (for $r > 0$) tells us exactly that the parameterization $\textrm{P}(t)$ traces the graph of $\textrm{P}$ with period $\pi$ iff $k$ is odd. So, for $k$ odd we still get the complete graph by plotting it over an angular interval of length $\pi$, or equivalently over an angular interval of length $2 \pi$ (rather than $4 \pi$) in the original parameterization of the Grandi rose. The same identity also immediately more-or-less explains the more essential difference between the situations for $k$ even and odd, namely that for $k$ even (but not odd) the lobes of the curve $\textrm{P}$ extend outside the graph of $\rho$.

(2) podemos ver que para $r = 1$, $\rho$ tiene un mínimo de cero---y así su gráfica interseca el origen---en múltiplos enteros de $\frac{pi}{k}$. Cuando $r < 1$, $\rho(t) \geq 1 - r > 0$, en cuyo caso, este comportamiento no se produce.

(3) Es realmente no me queda claro lo que se quiere decir aquí. Pero NB para $r < 1, k > 1$, la polar los gráficos de $\rho, \textrm{P}$ (como subconjuntos de a$\Bbb R^2$) son topológicamente no equivalentes: La polar gráfico de $\rho$ es topológicamente equivalente a un círculo, mientras que la polar gráfico de $\textrm{P}$ es topológicamente equivalente a un ramo de $k$ círculos (para $k$ impar) y de $2 k$ círculos de $k$ incluso. Para $r = 1$, la polar los gráficos son topológicamente equivalentes iff $k$ impar.

(4) Notificación de que podemos preservar el comportamiento cualitativo de los ejemplos, si reemplazamos $\sin kt$ con cualquier otra función odd con período de $2 \pi$. En particular, teniendo los dos primeros interesante términos de la serie de Fourier de cualquier función da pares

\begin{align} \tilde \rho &:= 1 + r (\sin k t + a \sin 3 k t ) \\ \tilde{\textrm{P}} &:= R (\sin k t + a \sin 3 k t) . \end{align}