¿Cada elección posible de símbolos de Christoffel genera una conexión válida? ¿O hay alguna restricción sobre ellos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El espacio afín de conexiones es un espacio afín, no un espacio vectorial. La diferencia de dos afín conexiones es un tensor $A_{ij}\,^{k}$ tipo $\tbinom{1}{2}$; de modo que el espacio de las conexiones es un espacio afín inspirado en el modelo del espacio vectorial de dichos tensores. Otra forma de decir esto es que los símbolos de Christoffel no transformar tensorially pero la diferencia de dos conexiones. Como consecuencia, uno tiene que ser cuidadoso con lo que uno entiende por "cada posible elección de los símbolos de Christoffel". Si uno corrige una conexión particular de $\nabla$ como referencia, entonces el espacio afín de conexiones se convierte en un espacio vectorial con la referencia de conexión como el origen (por ejemplo, uno puede fijar las coordenadas de $x^{1}, \dots, x^{n}$, y elegir como referencia de conexión a la conexión tal que las coordenadas coframe $dx^{1}, \dots, dx^{n}$ es paralela; esta conexión es lo que se suele escribir como la derivada parcial de operador). Para cualquier tensor $A_{ij}\,^{k}$, $\nabla + A$ es otra conexión. Si $\Gamma_{ij}\,^{k}$ son los símbolos de Christoffel de $\nabla$ con respecto a algún marco, $\Gamma_{ij}\,^{k} + A_{ij}\,^{k}$ son los símbolos de Christoffel de $\nabla + A$ con respecto a este mismo marco. En este sentido, cada posible elección de los símbolos de Christoffel genera una conexión válida. (Si uno desea hablar sólo de torsión libre de conexiones, entonces uno necesita restringir la atención el espacio vectorial de los tensores $A_{ij}\,^{k}$ simétrica en la parte baja de los índices.)
