Cálculo de los coeficientes de un polinomio en la base del binomio

Question

Dejemos que $f(t) = \sum_{i = 0}^{n} c_i \ t^i$ ser un grado $n$ polinomio. En la base binomial, podemos escribir $f(t) = \sum_{k = 0}^{n} h_k \ \binom{t + n - k}{n}$ . Utilizando el cálculo de diferencias finitas, puedo demostrar que el coeficiente $c_i$ puede calcularse a partir de $\{ h_0, \dots, h_n \}$ mediante la ecuación $$c_i = \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \left( \sum_{\ell = i}^{n} s(n,\ell) \binom{\ell}{i} (n-k)^{\ell - i} \right) h_k, $$ donde $s(n,\ell)$ es el número de Stirling (con signo) del primer tipo. Me gustaría tener la fórmula inversa. Es decir, cómo se calcula $h_k$ en función de $\{ c_0, \dots, c_n \}$ ?

Gracias.

Actualización: Gracias a las sugerencias de abajo, puedo probar \begin{eqnarray} f(t) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{k = 0}^{i} \sum_{j = k}^{i} c_{i} k! \binom{i}{j} r^{i-j} S(j,k) \binom{t - r}{k} \end{eqnarray} para cualquier número entero positivo $r$ . No estoy seguro de cómo convertir esto en una expansión en la base $\left \{ \binom{t + n - k}{k} \right\}$ o $\left\{ \binom{t + n -k}{n} \right\}$ , ya que creo que $r$ no puede depender de $k$ . Cualquier idea es bienvenida.

Answer 1

Desde $\binom{t+n-k}{k} = \frac{(t+n-k)!}{k! (t+n-2k)!} = \frac{(t+n-k)^{\underline{k}}}{k!}$ tu problema se reduce a cómo encontrar los coeficientes $s_0, s_1, \ldots, s_n$ tal que $$t^n = \sum_{k=0}^n s_k (t+n-k)^{\underline{k}}.$$

Si tuvieras $n-k = 0$ esto implicaría los números de Stirling del segundo tipo $S(n,k)$ mediante la fórmula $$t^n = \sum_{k=0}^n S(n,k) t^{\underline{k}}.$$

En cambio, lo que se quiere son los llamados números de Stirling no centrales del segundo tipo . Por desgracia, no consigo encontrar una buena referencia en la web. Charalambides's Combinatoria Enumerativa , pp. 314-319, tiene una discusión decente, pero no toda ella aparece en Google books.

Las fórmulas pertinentes son

$$t^n = \sum_{k=0}^n S(n,k;r) (t-r)^{\underline{k}},$$ y $$S(n,k;r) = \sum_{j=k}^n \binom{n}{j} r^{n-j} S(j,k),$$ donde $S(j,k)$ es (de nuevo) un número de Stirling del segundo tipo. Observa que la segunda ecuación es dual (¡como debe ser!) con la expresión dentro del paréntesis en tu pregunta.