Métrica que asume el valor infinito

Question

Si en cambio definimos una métrica como $d:X\times X \rightarrow [0,\infty]$ ¿Perdemos alguna de las buenas propiedades de los espacios métricos?

La razón por la que pregunto es que he visto este teorema: Dado un espacio de medidas finito $(X,\mathcal{M},\mu )$ definir la relación de equivalencia $A \sim B$ si $\mu(A \mathbin{\Delta} B)=0$ para $A,B\in \mathcal{M}$ . Entonces $d: \mathcal{M} /{\sim} \rightarrow [0,\infty) $ definido por $d(A,B)=\mu(A \mathbin{\Delta} B)$ es una métrica.

Pero el mismo argumento pasaría si $X$ no era un espacio de medida finito, el único lugar donde parece fallar es porque las métricas están definidas para no tomar el valor $\infty$ .

Answer 1

No pasa nada malo si se permite que una métrica asuma el valor $\infty $ . De hecho, sólo ocurren cosas buenas.

No pasa nada malo ya que se puede seguir hablando de bolas abiertas, de la topología inducida, de funciones uniformemente continuas, de funciones continuas, de funciones de Lipschitz, etc. y la teoría se ve prácticamente igual que si no se permite que la métrica asuma el valor $\infty $ . Además, cualquier espacio métrico en el que se asuma una distancia infinita se descompone de forma natural como una unión disjunta de espacios métricos en los que no se asume el infinito. La construcción es muy fácil: definir una relación de equivalencia sobre los puntos del espacio por $x\sim y$ si $d(x,y)<\infty $ . Las clases de equivalencia se denominan galaxias El espacio se descompone como la unión disjunta de galaxias y cada galaxia es un espacio métrico donde todas las distancias son finitas.

Que las cosas buenas sucedan si se permite la distancia infinita están relacionadas con ciertas construcciones que se vuelven más agradables. Por ejemplo, si tienes dos espacios métricos $M_1,M2$ y se desea definir su unión disjunta como un espacio métrico, entonces lo más natural es exigir que la distancia entre un punto en $M_1$ y un punto en $M_2$ es infinito. Si no se permiten las distancias infinitas, hay que sudar innecesariamente para que esta construcción funcione. Pero si se permiten las distancias infinitas, la unión disjunta de espacios métricos se convierte en la noción trivial que debería ser. Además, la conciliación de diferentes espacios métricos en el mismo conjunto se hace más transparente. Por ejemplo, supongamos que $d_i$ es una familia de funciones de distancia sobre un conjunto $X$ . Incluso si no alcanza el infinito, su supremum puntual podría llegar a ser infinito, y por lo tanto dejar de ser un espacio métrico. Pero si se permite el infinito como una distancia posible, entonces el supremum de cualquier familia de funciones de distancia es de nuevo una función de distancia.

La razón por la que los espacios métricos con infinito permitido tienen mejores propiedades de cierre bajo operaciones familiares es que el conjunto $[0,\infty ]$ tiene mejores propiedades de cierre que $[0,\infty )$ lo hace.

Answer 2

Podemos utilizar métricas infinitas para completar los espacios métricos de forma sencilla:

Dado cualquier conjunto $X$ , dejemos que $\mathbb{R}^X$ sea el espacio de las funciones $X\to \mathbb{R}$ dotado de la métrica uniforme (de valor infinito) $d_\infty(f,g)=\sup_{y\in X}|f(y)-g(y)|$ . La prueba habitual muestra que $\mathbb{R}^X$ está completo.

Ahora dejemos que $(M,d)$ sea un espacio métrico. Conjunto $D\colon M\to \mathbb{R}^M$ como $D(x)=d_x=d(x,\cdot)\colon y\mapsto d(x,y)$ para todos $x\in M$ . Entonces $D$ es una isometría: $$|d_x(y)-d_{x'}(y)|=|d(x,y)-d(x',y)|\leq d(x,x')$$ y $$|d_x(x)-d_{x'}(x)|=d(x,x'),$$ que muestra que $d_\infty(D(x)-D(x'))=d(x,x')$ . El cierre $\overline{D(M)}$ es una terminación de $M$ (que es único y satisface la propiedad universal habitual según la teoría general).

Obsérvese que esto evita los casos de AC como en la construcción habitual de una terminación (como cociente del espacio de secuencias de Cauchy sobre $M$ etc.)

Answer 3

En cambio, piensa en esto. Muchos espacios de medida son $\sigma$ -finito; esto sólo significa que son uniones contables de subconjuntos de medida finita.

Supongamos que $(\Omega, \mathcal{S}, \mu)$ es un $\sigma$ -espacio de medida finita. A continuación, se puede dividir con $\{E_n\}_{n=1}^\infty$ así que $\mu(E_n)<\infty$ para todo n.

Entonces, para todos los $n$ , $A\mapsto \mu(A\cap E_n)$ es un pseudométrico en $\mathcal{S}$ . Ahora pon

$$d(A, B) = \sum_{n=1}^\infty {\mu(A \mathbin{\Delta} B)\cap E_n)\over 2^n(1+ \mu(A\ \mathbin{\Delta} B)\cap E_n))}.\qquad A, B \in \mathcal{S}.$$

Se trata de un pseudométrico con muchas de las cualidades que usted busca. De hecho, puede considerarse una métrica sobre $\mathcal{M}/\sim$ .