Grado de campo compuesto

Question

Supongamos que$E/K$ y$F/K$ sean subextensiones finitas de$L/K$, denota$EF/K$ la subextensión compuesta. Entonces y $[EF:F]\leqslant[E:K]$.

Si asumimos$[EF:K]\leqslant[E:K]\cdot[F:K]$, entonces obtendremos "="?

Answer 1

No. Trivial intersección no garantiza que $[EF:K]=[E:K]\cdot [F:K]$.

Un estándar contraejemplo de esto es $K=\Bbb{Q}$, $E=\Bbb{Q}(\root3\of2)$, $F=\Bbb{Q}(e^{2\pi i/3}\root3\of2)$. Los elementos que se acueste a conseguir $E$ o $F$ son tanto los ceros de $p(x)=x^3-2$. Por lo tanto vemos que $[E:K]=3=[F:K]$. Tres es un número primo, ni $E/K$ ni $F/K$ no trivial intermedio de las extensiones, por lo $[E\cap F:K]=1$ o $3$. Aquí $E$ es real y $F$ no es, por lo $3$ está descartado, y $E\cap F=K$.

Pero, la compositum $EF$ es la división de campo de la $p(x)$$\Bbb{Q}$, bien conocido por ser Galois con grupo de Galois $S_3$. Por lo tanto,$[EF:K]=6<3\cdot3$.

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La condición que garantiza la igualdad, $[EF:K]=[E:K]\cdot[F:K]$, es linealmente disjuntos extensiones. Un grupo de estudio estaba corriendo una vez necesitan lo básico así que escribí una rápida introducción.

Pete L. Clark tiene mejor material sobre este tema.

• Consulte su pregunta, y
• Notas sobre la teoría de campo. Quiere el Capítulo 12 en particular.