¿Qué es una matriz de gradiente?

Question

Sé lo que es el gradiente de una función, pero tengo este problema que parece tener otra cosa en mente.

El problema dice

Escribe la ecuación del oscilador $y''-\cos y=0$ como un sistema de ecuaciones de primer orden con $x_1=y$ y $x_2=y'$ y encontrar la matriz del gradiente $\nabla f$ y calcular su valor propio en función de $x$ . Dibuja algunas trayectorias típicas en el espacio de fase e indica dónde esperas la divergencia, basándote en el análisis de valores propios.

¿Significa esto convertir el sistema en una matriz como

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-\cos x_1\end{pmatrix}$$

¿La matriz de coeficientes sería la matriz del gradiente? ¿O sería la matriz fundamental de la solución? He tratado de buscar el término en Google y nada parece ser lo que este problema se refiere.

Answer 1

El sistema de primer orden tiene un error de signo, debería leerse como $$ \binom{\dot x_1}{\dot x_2}=F(x_1,x_2)=\binom{x_2}{\cos x_1} $$ La matriz del gradiente que hay que calcular es ahora la matriz jacobiana de $F$ . Para esta tarea, se puede olvidar el contexto de una ecuación diferencial y simplemente calcular las derivadas parciales $$ F'(x)=\begin{pmatrix}0&1\\-\sin x_1&0\end{pmatrix}. $$