Tercer momento central de una suma de un número aleatorio de iid variables aleatorias

Question

Inspirado por esta pregunta, traté de obtener una expresión para el tercer momento central de una suma de un número aleatorio de variables aleatorias iid. Mi pregunta es si es correcto y, si no, ¿qué está mal o qué supuestos adicionales puede ser que falte.

Específicamente, vamos a:

$$S=\sum_1^N{X_i},$$ donde $N$ es un entero no negativo, con valores de variable aleatoria.

Suponga que la distribución de ambos $N$ $X$ son conocidos (y $X_i$ son iid), quiero saber el valor de el tercer momento central de $S$.

Usando la ley de total cummulance:

$$\mu_3(S)=E[\mu_3(S|N)]+\mu_3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),$$

pero $E[S|N]=N\cdot E[X]$, $E[S|N]=N\cdot V[X]$ y, si estoy en lo correcto, $\mu_3(S|N)=N\cdot \mu_3[X]$. Por lo tanto:

$$\mu_3(S)=E[N\cdot \mu_3(X)]+\mu_3(N\cdot E[X])+3cov(N\cdot E[X],N\cdot V[X]),$$

y, desde los momentos de $X$ son supuestos ser conocidos:

$$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)$$

Por supuesto, $cov(N,N)=V[N]$, así:

$$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]V[N]$$

¿Es lo correcto? Lo que está mal? ¿Qué suposiciones adicionales que me estoy perdiendo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sus pasos look correcto para mí. Tenemos que asumir que los momentos existen. El único paso que yo no estaba seguro acerca de se $\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$. Pero, se puede demostrar que:

\begin{align} \mu_3(S | X) &= E\left[(S - E[S])^3 | N \right] \\ &= E\left[ \left( \sum_{i=1}^N (X_i - E[X]) \right)^3 \middle| N \right] \\ &= E \left[ \sum_{i=1}^N (X_i - E[X])^3 \middle| N\right] \end{align} donde para establecer la última igualdad, podemos utilizar la multinomial teorema. Para un determinado $n$,

\begin{align} E\left[ \left( \sum_{i=1}^n (X_i - E[X]) \right)^3 \right] &= E \left[ \sum_{\sum_{i=1}^n k_i = 3} {3 \choose{k_1, \ldots, k_n}} (X_1 - E[X])^{k_1} \cdots (X_n - E[X])^{k_n} \right] \\ &= E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - E[X])^3 \right], \end{align} porque cuando $k_i = 2$ cualquier $i$, existe otro $j$ donde $k_j=1$ (Debido a la independencia de $X_i$ $X_j$ y el hecho de que la expectativa de $X_j - E[X]$ es cero, causando que el término en particular para convertirse en cero). Ahora debería estar claro que el $\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$.