Podemos considerar la extensión de K sobre F como un espacio vectorial sobre F . Evidentemente, este campo tiene una base y it viene dada por $\{1,\theta,…,\theta^{n1}\}$ , donde $\theta\equiv x\pmod{p(x)}\in K$ .
En general, hay muchas bases diferentes para $K$ como un espacio vectorial sobre $F$ y "la" base que das arriba no es en general única. La condición $\theta\equiv x\pmod{p(x)}$ equivale a $x-\theta$ dividiendo $p(x)$ es decir, a $\theta$ siendo una raíz de $p(x)$ . La elección de diferentes raíces en general da lugar a diferentes bases para $K$ en $F$ .
..., pero ¿cómo podemos utilizar exactamente esta definición para deducir que $\theta=i$ al considerar $\Bbb{R}[x]/(x^2 +1)$ ?
No podemos deducirlo porque $i\in\Bbb{C}$ no es un elemento de $\Bbb{R}[x]/(x^2+1)$ . Los dos campos son isomórficos, pero no existe un isomorfismo canónico entre ellos. De hecho, hay precisamente dos isomorfismos (de campos) dados por el mapeo $x$ a $i$ o la cartografía $x$ a $-i$ correspondientes a diferentes opciones de raíces de $x^2+1$ en $\Bbb{C}$ . Alterrnativamente, hay preciamente dos automorfismos de campo de $\Bbb{C}$ que son la identidad en $\Bbb{R}$ ; estos son la identidad y la conjugación compleja.
O, para el caso, $\mathbb{Q}[x]/(x^{3} - 2)$ ?
Este campo puede incluirse en $\Bbb{C}$ e incluso en $\Bbb{R}$ . Para esto último debemos mapear la clase de $x$ en $\Bbb{Q}[x]/(x^3-2)$ a $\sqrt[3]{2}\in\Bbb{R}$ por lo que la incrustación es única y podemos identificar $\Bbb{Q}[x]/(x^3-2)$ con $\Bbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\Bbb{R}$ . En efecto, $x^3-2$ tiene una única raíz en $\Bbb{R}$ . Sin embargo, hay tres incrustaciones distintas en $\Bbb{C}$ correspondiente a tres raíces distintas de $x^3-2$ en $\Bbb{C}$ por lo que tampoco podemos identificar la clase de $x$ en $\Bbb{Q}[x]/(x^3-2)$ con un elemento de $\Bbb{C}$ canónicamente.
