¿por qué no hay orden en los espacios métricos?

Question

¿Por qué no existe una noción abstracta de orden en los espacios métricos?

Seguramente, si hay una noción de distancia debe haber una noción de valores diferentes. Si hay una noción de valores diferentes, ¿por qué no podemos especificar un orden bien definido en el espacio métrico para reflejar los valores más bajos a los más grandes en el espacio?

Answer 1

El conjunto de los números complejos $\Bbb{C}$ es claramente un espacio métrico bajo la noción habitual de módulo, es decir $(\Bbb{C},d)$ es un espacio métrico donde $d(w,z)=|w-z|=\sqrt{(w-z)(w-z)^{\ast}}$ . Sin embargo, al mismo tiempo, $\Bbb{C}$ no tiene ninguna relación de ordenación total que sea "significativa . Esto es especialmente intuitivo si pensamos en $\Bbb{C}$ como un plano análogo a $\Bbb{R}^{2}$ . Este es un ejemplo concreto de un espacio métrico que no tiene ninguna relación de ordenación (significativa).

Por ahora, no he conseguido demostrarme a mí mismo que no existe un orden que pueda construirse sobre $\Bbb{C}$ utilizando sólo la métrica. Pero mi punto es que, si tal orden existe y es un orden total, entonces no tiene "sentido". Por lo tanto, considerar órdenes construidos sólo a partir de una métrica puede ser un problema interesante en algunos casos específicos, pero puede no ser un gran uso del tiempo en el caso general, ya que algunos espacios métricos son importantes por otras razones incompatibles.

Answer 2

No es necesario que exista una relación de este tipo significativa en un espacio métrico. La razón básica por la que se omite es porque al omitir los requisitos se cubren más casos. Cuando hablamos de un espacio métrico restringimos los requisitos para que sólo signifiquen que existe una distancia entre los elementos y nada más (no requerimos que el espacio tenga un origen, no requerimos que los elementos se puedan añadir o escalar, etc.).

Por ejemplo, aparte de los casos normales $\mathbb R$ y $\mathbb C$ El concepto abarca muchos casos diferentes. Por ejemplo, el espacio métrico trivial con un solo elemento, la métrica hamming (el número de símbolos que difieren entre dos cadenas), la geometría euclid (que no depende de la existencia de un origen), etc.

Si intentas definir el orden ingenuamente por el tamaño te encontrarás con el hecho de que un espacio métrico tampoco tiene la noción de tamaño, se define en términos de distancia entre elementos. E incluso si la hubiera (y entonces no es simplemente un espacio métrico, sino tal vez un espacio vectorial normado) acabarías con algo que no cumple los requisitos de un orden (no tienes la propiedad de que si $a\le b$ y $b\le a$ entonces $a=b$ ).

Si quieres un espacio métrico ordenado, debes exigirlo y no esperar que todas las "estructuras" abstractas se ajusten a tus requisitos.

Las matemáticas consisten en un zoo de "estructuras" abstractas, desde las más genéricas hasta las más especializadas - tienes que elegir cuál usar en cada ocasión (pero si usas la más genérica, tus conclusiones serán más genéricas).

Answer 3

Ciertamente, podemos derivar una métrica a partir de ciertas nociones de tamaño (normas), pero no es necesario tener ninguna noción de tamaño para tener una métrica.

Dejemos que $X$ sea cualquier y para $x,y\in X,$ definir $$d(x,y)=\begin{cases}1 & x\ne y\\0 & x=0.\end{cases}$$ Se trata de una métrica sobre $X$ que nos dice cuando dos elementos son diferentes, pero nada más.

Answer 4

Considera cualquier ordenación posible de los puntos de una circunferencia. Encontrarás que:

1. no es invariable bajo isometrías;

2. algunos de los conjuntos $\{x: x<a\}$ no están abiertos.

Esto te dice que el ordenamiento no puede tener tanta relación con la estructura métrica...

Answer 5

Consideremos el conjunto de todos los puntos de la superficie de la Tierra y midamos la distancia entre dos puntos por la longitud del camino más corto sobre la superficie. Se trata de un espacio métrico.

¿Cómo se ordenan los puntos? ¿Qué punto es el mayor y cuál el menor?