El retroceso bajo $f$ de la 1-forma canónica $d\theta$ en $S^1$ es una forma cerrada $\omega$ en $M$ . Esta forma se denomina intrínsecamente armónico si existe una métrica de Riemann sobre $M$ haciéndolo armónico. Este término fue introducido por Calabi en 1969, quien demostró lo siguiente:
Supongamos que $\omega$ sólo tiene ceros de tipo Morse (esto se interpreta en términos de una función de valor real definida localmente $\phi$ tal que $d\phi=\omega$ ). Entonces las siguientes son equivalentes:
- $\omega$ es intrínsecamente armónico
- Para cualquier punto $p\in M$ que no es un cero de $\omega$ existe una trayectoria suave $\gamma\colon [0,1]\to M$ tal que $\gamma(0)=\gamma(1)=p$ et $\omega(\dot \gamma(t))>0$ para todos $t$ . (Tales $\gamma$ se denomina $\omega$ -bucle positivo).
Si $f\colon M\to S^1$ es una inmersión, entonces $\omega = f^*(d\theta)$ no tiene ceros, así que estamos en buena forma en el lado Morse. Para obtener un $\omega$ -bucle positivo en $p\in M$ debemos levantar algún bucle $\sigma_n(t)=f(p)e^{i t}$ , $0\le t\le 2\pi n$ a un bucle basado en $p$ . No tengo claro cómo hacer esto para una fibración arbitraria sobre $S^1$ pero en el documento se supone que la fibración es localmente trivial, en cuyo caso $\sigma_1$ debería tener tal ascensor.
Fuentes:
