Demuestre$kf(x)+f'(x)=0 $ cuando se cumplan las condiciones del teorema de Rolle.

Question

Demuestre que si$f$ es diferenciable en$ [a,b]$ y si$ f(a)=f(b)=0$ entonces para cualquier% real$k$ hay un$ x \in (a,b) $ tal que$$kf(x)+f'(x)=0 $ $ Como todos Las condiciones del teorema de Rolle están satisfechas. Se puede decir que hay al menos un$c \in (a,b) $ tal que$f'(c) =0$.
¿Cómo debo proceder furthur? ¿Cómo puedo usar esto para llegar a la ecuación requerida?

Answer 1

Considera la función$h(x)=e^{kx}f(x)$. Aplique el teorema de Rolle en$h(x)$ para el intervalo$[a,b]$

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Cuando tengo que mostrar algo relacionado con un derivado de una función cuando tengo algo de información sobre la función, generalmente trato de integrar la expresión dada. Hacer eso generalmente me da una pista sobre lo que tengo que hacer o suponer o asumir. Como en este caso, si divide por$f(x)$ e integra, podrá calcular la suposición.