Es esta una correcta prueba de que todas las funciones racionales son integrables?
Yo podría ser horriblemente mal, pero aquí va:
En primer lugar, por trivial de inspección, una $n$th grado del polinomio es integrable: $$\begin{align} \int p(x) dx&=\int \sum_{i=0}^{n}\alpha_ix^i dx\\ &=\sum_{i=0}^{n}\alpha_i\int x^i dx\\ &=\sum_{i=0}^{n}\frac{\alpha_i}{i+1}x^{i+1}+C\\ \end{align} $$
Ahora, definir: $$r(x)=\sum_{i=0}^{n}c_ix^i \text{ and } s(x)=\sum_{i=0}^{m}\gamma_ix^i$$ Por el teorema fundamental del álgebra, $$r(x)=c_n\prod_{i=1}^{n}(x-r_i) \text{ and } s(x)=\gamma_n\prod_{i=1}^{m}(x-\phi_i)$$ donde $r_i$ $\phi_i$ son los verdaderos (y complejo, si es que existen) las raíces de $r(x)$$s(x)$, respectivamente.
Ahora, demostrando que una fracción de polinomios es integrable: $$\begin{align} \int \frac{r(x)}{s(x)} dx&=\int \frac{c_n(x-r_1)\cdots(x-r_n)}{\gamma_n(x-\phi_1)\cdots(x-\phi_m)}dx\\ &=\frac{c_n}{\gamma_n}\int\frac{(x-r_1)\cdots(x-r_n)}{(x-\phi_1)\cdots(x-\phi_m)} dx \end{align}$$
Supongamos que: $$ \frac{(x-r_1)\cdots(x-r_n)}{(x-\phi_1)\cdots(x-\phi_m)}=\frac{K_1}{x-\phi_1}+\frac{K_2}{x-\phi_2}+\dots+\frac{K_{m-1}}{x-\phi_{m-1}}+\frac{K_m}{x-\phi_m} \text{ donde } K_i \in \mathbb{C} $$
Entonces:
$$\begin{align} \int \frac{r(x)}{s(x)} dx&=\frac{c_n}{\gamma_n}\int \sum_{i=1}^{m}\frac{K_i}{x-\phi_i} dx\\ &=\frac{c_n}{\gamma_n}\sum_{i=1}^{m}K_i\int \frac{1}{x-\phi_i} dx\\ &=\frac{c_n}{\gamma_n}\sum_{i=1}^{m}K_i \log(x-\phi_i)+C \end{align}$$
Supongo que mi problema aquí es: ¿Cómo sé que el conjunto de $K$'s existen? (Por el conjunto de $K$'s, quiero decir exactamente que elementos de las $\{K_1,K_2,\dots,K_{m-1},K_{m}\}$ existe.) Y, ¿cómo sé que estos elementos son números complejos en lugar de los polinomios de sí mismos?
Se ha aclarado por Robert Israel, que mi uso de la terminología es incorrecta. Lo estoy demostrando es que las funciones racionales son integrables en forma cerrada, no que los polinomios son integrables.
También se ha aclarado que esta prueba es válida si y sólo si $s(x)$ no se han repetido las raíces ($\phi_i=\phi_j \text{ for } i\neq j$) y que el grado de $s(x)$ es menor que el grado de $r(x)$.
Un intento general de la prueba:
Deje $v(x)$ $w(x)$ ser de dos polinomios. ($\deg v>\deg w$)
Ahora, definir la siguiente función racional: $$\mathfrak{J}(x)=\frac{v(x)}{w(x)}$$
\begin{align} \int \mathfrak{J}(x)\,dx&=\int \frac{v(x)}{w(x)}\,dx\\ \frac{v(x)}{w(x)}&=q(x)+\frac{r(x)}{w(x)} \quad \deg r<\deg w\\ &=\int q(x)+\frac{r(x)}{w(x)}\,dx\\ &=\int q(x)\,dx+\int\frac{r(x)}{w(x)}\,dx\\ &=\mathfrak{a}(x)+\int\frac{r(x)}{w(x)}\,dx\\ r(x)&=\sum_{i=1}^{n}c_ix^i\\ \int\frac{r(x)}{w(x)}&=\int \frac{c_nx^n}{w(x)}+\dots+\int \frac{c_0}{w(x)}\\ \int \frac{c_ix^i}{w(x)}&=\int \frac{k_{1,i}}{(x-r_1)^{\alpha_1}}+\dots+\int\frac{k_{m,i}}{(x-r_m)^{\alpha_m}}\\ &=k_{1,i}\int \frac{1}{(x-r_1)^{\alpha_1}}+\dots+k_{m,i}\int\frac{1}{(x-r_m)^{\alpha_m}}\\ &=k_{1,i}p_{1,i}(x)+\dots+k_{m,i}p_{m,i}(x)\\ &=\sum_{j=1}^{m}k_{j,i}p_{j,i}(x)\\ \int\frac{r(x)}{w(x)}&=\sum_{j=1}^{m}k_{j,n}p_{j,n}(x)+\dots+\sum_{q=1}^{m}k_{q,0}p_{q,0}(x)\\ &=\sum_{\alpha=0}^{n}\sum_{\beta=1}^{m}k_{\beta,\alpha}p_{\beta,\alpha}(x)\\ \mathfrak{b}(x)&=\sum_{\alpha=0}^{n}\sum_{\beta=1}^{m}k_{\beta,\alpha}p_{\beta,\alpha}(x) \end{align}
$$\therefore \int\mathfrak{J}(x)\,dx=\mathfrak{a}(x)+\mathfrak{b}(x)$$
Es evidente que hay un montón de detalles de la izquierda; pero necesito?
