Existen las transformaciones estándar de f(x) que te enseñan en la escuela, como nf(x) o f(nx), pero ningún profesor ha mencionado nunca f(x) a una potencia.
Entonces, ¿cómo se hace $(f(x))^n$ ?
Por ejemplo, ¿cómo trazarías la gráfica de $(cosx)^{sinx}$ ?
El mejor enfoque de la trama $h(x)=f(x)^{g(x)}$ es tomar y trazar los logaritmos $$\log(h(x))=g(x)*\log(f(x))$$ como lo hacíamos a mano "hace muchos años" con papel de tronco.
Hoy en día, con un buen programa informático, no tienes esa limitación.
Por supuesto, para permanecer en los reales, $f(x)$ será positivo, al menos en el $x$ rango de interés.
Así que no se puede hacer un gráfico de valores reales de $cos(x)^{sin(x)}$ , a no ser que por $\pi/2 \le x \le \pi/2$ .
De lo contrario, si desea pasar a valores complejos, deberá dividir en dos gráficos los componentes Real e Imaginario, o el Módulo y la Fase.
Probablemente, debe tener en cuenta que $(f(x))^n$ es otra función $g(x)$ que tiene algunas propiedades, algunas de ellas procedentes de las propiedades de la función $f(x)$ . Esto podría ser muy útil de conocer para el análisis del comportamiento de la función $g(x)$ (derivadas, ceros, expansión en serie de Taylor,..). Pero, por ejemplo, en cuanto a la integración, no veo (a primera vista) para qué podríamos utilizar esta relación, al menos de forma muy general.
La blabla anterior se aplica si el exponente es un número. El problema empieza a ser muy diferente si se considera $h(x)=f(x)^{g(x)}$ . Seguirá teniendo propiedades muy interesantes de $h(x)$ conociendo las propiedades de $f(x)$ y $g(x)$ .
A modo de ilustración, le sugiero que trace en el mismo gráfico $x^3$ y $x^4$ (digamos para $0<x<2$ la curva será "similar". Pero también trazar $cos(x)$ y $cos(x)^{cos(x)}$ (digamos para $0<x<\pi/2)$ son muy diferentes.
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Es una buena pregunta. En mi opinión, no hay una manera fácil de hacerlo. Lo mejor que conozco es hacer una consideración puntual. Incluso abogo por la consideración puntual durante las transformaciones "estándar", especialmente para los estudiantes que no entienden realmente lo que está sucediendo, o por qué.
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Esto no tiene nada que ver con la teoría de los grafos.
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OP, para futuras referencias, la teoría de grafos es este . Además, tu ejemplo no parece coincidir con tu pregunta. Eso no es $f(x)^n$ Es $f(x)^{g(x)}$ .
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Cómo $f(x)^n$ se comporta depende de los valores de $f(x).$ Por lo tanto, es necesario conocer bien la gama de $f(x).$