$S^{-1}B$ $T^{-1}B$ isomorfo para $T=f(S)$

Question

Deje $f:A\to B$ ser un homomorphism de los anillos, $S$ ser un multiplicatively subconjunto cerrado de $A$$T=f(S)$. A continuación, $S^{-1}B$ $T^{-1}B$ son isomorfos como $S^{-1}A$-módulos.

Primero definimos la obvia homomorphism $\phi:S^{-1}B\to T^{-1}B$$\frac{b}{s}\mapsto \frac{b}{f(s)}$. Me pueden derivar de los hechos que $\phi$ es un homomorphism así como surjectivity, pero estoy seguro acerca de inyectividad.

Supongamos $\frac{b}{f(s)}=\frac{0}{1}$, $\exists\ t=f(s')\in T$ tal que $tb=f(s')b=0$. Y ahora estoy atascado, porque lo que necesito es $s''b=0$ algunos $s''\in S$, pero $f(s')\in T$, así que en realidad no me ayudan.

Answer 1

De inyectividad. Deje $\frac{r_1}{s_1},\frac{r_2}{s_2}\in S^{-1}B$, y supongamos que que \begin{align*} \phi\left(\frac{r_1}{s_1}\right)&=\phi\left(\frac{r_2}{s_2}\right) \\ \frac{r_1}{f(s_1)}&=\frac{r_2}{f(s_2)} \end{align*} Así $\exists$ $t\in T$ tal que \begin{equation*} t\left(f(s_2)r_1-f(s_1)r_2\right)=0 \end{ecuación*} Desde $t\in T=f(S)$, $\exists$ $s\in S$ tal que $f(s)=t$, y \begin{align*} f(s)\left(f(s_2)r_1-f(s_1)r_2\right)&=0 \end{align*} Desde $B$ $A$ módulo a través de $f$ \begin{equation*} s\cdot (s_2\cdot r_1-s_1\cdot r_2)=0 \end{ecuación*} y por lo tanto $\frac{r_1}{s_1}=\frac{r_2}{s_2}$. Así $\operatorname{ker}(\phi)=0$.